Контрольная работа 2

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос У(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд У(t) этого показателя (повариантно) приведено в исходной таблице.

Решение:

Используя исходные данные о временном ряде У(t):

были проведены следующие расчеты:

1. Для выявления аномальных уровней временных рядов можно использовать различные методы, рассчитанные для статистических совокупностей. Для проверки наличия аномального наблюдения воспользуемся методом Ирвина, который предполагает использования следующей формулы:

l = (t = 2, 3, ……n) s² _у = [S(у – у_ср)²] / (n – 1)

у_ср = (5 +7 + 10 + 12 + 15 + 18 + 20 + 23 + 26)/9 = 136 / 9 = 15, 11111

S(у – у_ср)² = 416, 889

s² _у = 416, 8889 / (9-1) = 52, 1111

s _у = 7, 218803

Расчетные значения:

Расчетные значения λ сравниваем с табличными значениями критерия Ирвина λ _a = 1, 5 (для уровня значимости a =0, 05). Очевидно, что все расчетные значения λ меньше табличного. Следовательно, соответствующие значения у_t уровня ряда можно считать нормальными (не аномальными)

2. Построена линейная регрессионная модель

= a ₀ + а₁ * t (t = 1¸ 9)

где параметры уравнения регрессии (a₀, а₁) получены на основе метода наименьших квадратов

а) с использованием Анализа данных.

уравнение линейной регрессии будет иметь вид:

= 1, 9444 + 2, 63 * t.

Б) путем решения системы уравнений:

n * a₀ + а₁ * S t = S y

a₀ * S t + а₁ * S t² = S y*t

В нашем случае эта система имеет вид:

9 * а + 45*b = 136, 0

45*a + 285 * b = 838, 0

Решениями этой системы являются числа а₀ = 1, 94 и а₁= 2, 63, тогда уравнение линейной регрессии будет иметь вид:

= 1, 94 + 2, 63 * t.

В) использованием Мастера диаграмм

Откуда новые значения будут равны:

3. Оценена адекватность построенной модели на основе исследования:

а) легко убедиться, что математическое ожидание ряда остатков равно нулю, т.е. ç ç = 0.

б) случайности остаточной компоненты по критерию пиков (поворотных точек). Критерием случайности с 5 %-ным уровнем значимости, т.е. с доверительной вероятностью 95 %, является выполнение неравенства:

= ,

в нашем случае 5 > [ 2, 406 ] = 2,

т.е. 5 > 2 и неравенство выполняется, а, значит, построенная трендовая модель может считаться адекватной.

в) независимости уровней ряда остатков по d – критерию (критические значения d₁ = 1.08 и d₂ = 1.36) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r ₁ = 0, 36

Т.е. осуществляется проверка отсутствия существенной автокорреляции в остаточной последовательности по d – критерию Дарбина – Уотсона, используя формулу

в нашем случае

d = = 2, 28109265 ≈ 2, 281

такое расчетное значение критерия (в интервале от 2, 0 до 4, 0) свидетельствует об отрицательной связи, в этом случае его надо преобразовать по формуле: d ‘ = 4 – d = 4 –2, 281 = 1, 7189

и в дальнейшем использовать значение d ‘, далее полученное значение критерия сравнивается с критическими уровнями, т.е. d₂ < d‘ ≤ d₁, следовательно, гипотеза о независимости уровней остаточной последовательности, т.е. об отсутствии в ней автокорреляции, не принимается.

г) нормальности распределения остаточной компоненты по R/S – критерию с критическими значениями от 2, 7 до 3, 7.

Расчет осуществляется по формуле:

R/S = = 2, 815

Полученное значение необходимо сравнить с границами (критическими значениями), в нашем случае расчетное значение попадает в интервал (2, 7; 3, 7), следовательно, гипотеза о нормальности распределения принимается.

В таблице собраны данные анализа ряда остатков

Проверяемое свойство	Вывод
математическое ожидание ряда остатков равна нулю, т.е. ç ç = 0.	адекватна
случайности остаточной компоненты по критерию пиков	адекватна
независимости уровней ряда остатков по d – критерию	адекватна
нормальности распределения остаточной компоненты по R/S – критерию	адекватна
Вывод: модель статистически адекватна

4. оценена точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации. Точность модели характеризуется величиной отклонения полученной модели от реального значения моделируемой переменной (экономического показателя). Для показателя, представленного временным рядом, точность определяется как разность между значением фактического уровня временного ряда и его оценкой, полученной расчетным путем. Такой расчет осуществляется по формуле:

для нашего примера %

такое значение показателя средней относительной ошибки аппроксимации свидетельствует об удовлетворительной точности построенной модели.