Мақсаттық қаржылық қорды құру есебі

Ақ шаны ө сім пайызына салудың ә ртү рлі тә сілдері жә не ә дістері болатыны бү гінгі кезде ә ркімге белгілі. Сө зсіз, кім де болса ө сім пайызына ақ шаны минимальды мө лшерде салып, максималь-ды табыс немесе пайда табуғ а тырысады. Сондық тан, салымнан максимальды табыс алу ү шін, оны іске қ андай тә сіл жә не ә діспен салғ ан тиімді деген еріксіз сұ рақ туады.

Тә жірибеде мұ ндай есептерді қ аржыларды жоспарлау есебі деп атайды. Есепте ө те маң ызды жә не кү рделі мә селелердің бірі тә уекелділік (риск) кө рсеткішінің мә нін дә йектеу жә не анық тау. Сонымен қ атар басқ а да факторлардың ө сімге салғ ан қ аражатқ а ә серін нақ тылы дұ рыс анық тағ ан маң ызды.

Қ арастырылып отырғ ан есепті ретке келтіру мақ сатында (формализация) мынадай сө здіктерді енгізейік:

– салым – іске салғ ан ақ ша;

– алдын-ала жиналғ ан ақ ша – мақ саттық қ аржылық қ ор;

– салым бойынша тә уекелділік (риск) индексі.

Тә жірибеде қ аржыларды жоспарлау есебінің бірнеше нұ сқ а-лары кездеседі. Біз мақ саттық қ аржылық қ орды минимальды мө лшерде іздеу деп аталатын қ аржыларды жоспарлау есебінің А–нұ сқ асын қ арастырамыз.

Айталық, бір мезгілде салымғ а салғ ан немесе несиеге беруші қ арызғ а берген қ аражатты қ айтару керек, яғ ни қ арызгер немесе банк нақ тылы бір соманы тө леуге тиіс. Осы соманы тө леу ү шін қ арызгер немесе банк алдын-ала бір қ аражатты жинақ тайды. Осындай мақ сатта жинақ талғ ан қ аражатты мақ саттық қ ор деп атаймыз.

Салым қ ысқ а мерзімге салынсын. Бұ л жерде қ ысқ а мерзімдік деп салымның салғ ан уақ ытымен оны қ айтарғ ан уақ ыт аралығ ы айтылады жә не осы мерзімде салымнан тү скен табыс та анық талуғ а тиіс.

Сонымен, есептің мақ саты мақ саттық қ ордың минимальды мө лшерін анық тайтын жә не қ арызды ө теуге жұ мсалатын салым тү рлерін таң дау.

Оқ ылып, зерделенетін кө рсеткіштерді мынадай символдармен белгілейік:

Y – бір мақ сат ү шін алғ ашқ ы салынғ ан салым мө лшері (қ аржыландыру ә рекетінің басында уақ ыт мезгілі нө лге тең деп есептелінеді, t = 0);

t – ағ ымдағ ы уақ ыт белгісі (t = 0, 1, …, T);

C_t – t - уақ ытта (t = 1, 2, …, T) тө ленген ақ ша мө лшері;

j – тез мерзімді салым индексі, j= 1, 2, …, n;

v_j – тез мерзімді j - салымның салынғ ан уақ ыты;

w_j – тез мерзімді j - салым бойынша қ аражатты қ айтару

мерзімі;

r_j – тез мерзімді j - салымнан алынатын табыс;

x_j – тез мерзімді j - салымның алғ ашқ ы мө лшері.

T– займды (салымды қ анша жылғ а, уақ ытқ а) берген мерзімнің мө лшері;

n – салымдар саны.

Кез келген тез мерзімді j салым v_j уақ ытта салынғ ан мө лше-рі белгілі жә не ол есепке алынғ ан деп санайық.

Егер тез мерзімде j салымның алғ ашқ ы мө лшері x_j болса, онда w_j – қ аражатты қ айтару мерзімінде банк немесе несиеге алушы (қ арызгер) мына мө лшерде (1+ r_j) x_j ақ шаны клиентке қ айтаруғ а міндетті. Қ оғ амда болып жатқ ан ә ртү рлі шектеулер ескерілмей, кез келген уақ ыт мезгілінде тө лей алатындай салым салынғ ан деп есептейік. Кез келген уақ ыт мезгілінде тө лей алатын салымдардың табысы нө лге тең болуы мү мкін. Нө лдік табысты салымды қ олдану ақ ша активтенбегендігін кө рсетеді, яғ ни мағ ынасы ақ ша иесінің қ олында қ алғ анмен бірдей.

Осындай талдау жү ргізе отырып, ә рі қ арай есепті қ алыптас-тыра беру ү шін, тағ ы да мынадай символдарды енгізейік.

Айталық,

немесе j = 1, 2, …, G_t,

мұ ндағ ы G_t – t – уақ ыт мезгіліндегі салымшыларсаны, олай болса бұ л кө птік тек уақ ыт t= v _j, яғ ни j – ші салымғ а t уақ ыт мезгілінде ақ ша салынғ ан.

Демек, ақ шаны қ айтару ә рекетін де осындай символдармен белгілеп, аламыз:

немесе j = 1, 2, …, Q _t,

мұ ндағ ы Q _t – t - уақ ыт мезгіліндегі тө ленген салымдар саны, яғ ни мына уақ ыт t = v _j+ w _jмерзімінде j - ші салым ө телген.

Сө йтіп, кез келген t- уақ ыт мезгілінде G_t жә не Q _t белгілі болатынын байқ аймыз.

Жоғ арыдағ ы қ абылданғ ан символдарды қ олданып, есептің математикалық моделін жазайық:

(5.8)

Мына жағ дайда:

(5.9)

(5.10)

(5.11)

(5.12)

Математикалық модельдегі (5.8) формула мақ саттық қ аржы-лық қ ордың минимальды мә нін іздейтін мақ сат функциясы. Атал-ғ ан функцияның минимальды мә ні қ аржы ә рекеттерінің барлық талабының орындалуын қ амтамасыз етуге тиіс, яғ ни мынадай жағ -дайларда:

– қ аржы ә рекеттері ә лі басталғ ан жоқ, яғ ни уақ ыт мезгілі нө лге тең, ал мақ саттық қ ор салымдарғ а бө лінген жә не барлық салымдардағ ы сомамен мақ саттық қ ордың айрымы нө лге тең (5.9–ші шектеу);

– тө ленген сомалармен салымдар сомаларының баланыстық қ атынасын кө рсететін шектеу (5.10–ші шектеу). Формуладағ ы B _t – – t - уақ ыт мезгіліндегі пайыздық ақ ша мө лшері немесе табыс мө лшері;

– пайыздық ақ шаларымен қ оса салымшыларғ а тө ленген қ аржы мө лшері немесе займғ а алынғ ан қ аражатты қ ойылғ ан мерзі-мінде ө теуді қ амтамасыздандыру шарты (5.11–ші шектеу);

– мақ саттық қ орды қ ұ ру жә не салымғ а ақ шаны салу тиімді немесе тиімсіз, яғ ни математикалық тілде айнымалылардың теріс болмау шарты (5.12–ші шектеу).

Табыстың максимльды мә нін іздейтін қ аржыны жоспарлау есебінің тағ ы бір нұ сқ асын (В нұ сқ асы) қ арастырайық. Айталық, са-лымшы бір уақ ыт аралық тарында максимальды пайда табу ү шін, қ аражатын салымғ а салсын. Есеп мақ саттық қ ордың бекітілген бел-гілі бір мө лшерінде, барлық тез мерзімдік салымдар ішінен макси-мальды табысты қ амтамасыз ететіндерін таң дап алу керек.

Жоғ арыдағ ы келтірілген символдарменқ атар тағ ы да мына-дай белгілерді қ абылдайық:

B_t – салымшылардың T- уақ ыт мезгілінде алғ ан табысы;

A_t – t - уақ ыт мезгілдерінде салынғ ан салым мө лшерлері (t = 1, 2, …, T).

Келесі кезекте есептің математикалық моделін тұ рғ ызайық.

Табыс максимальды болуын кө рсететін мақ сат функция:

(5.13)

Мына жағ дайда:

– бастапқ ы уақ ыт мезгілінде мақ саттық қ ордың салымдар бойынша бө лінуін сипаттайтын шарт:

(5.14)

– тө ленген сомалармен салымдар сомаларының баланыс-тық қ атынасын кө рсететін шарт:

(5.15)

– табыс шамасын анық тайтын шарт:

(5.16)

– ешқ андай табыс ала алмаймыз немесе аламыз жә не са-лымғ а ақ шаны салу тиімді немесе тиімсіз, яғ ни математикалық тілде айнымалылардың теріс болмау шарты:

(5.17)

1. Ақ шаны пайыздық ү стемеге салу. Фермер кө ксө кті сақ тауғ а арналғ ан қ ұ ралды сатып алу ү шін, осы қ ұ ралды шығ а-ратын кә сіпорынмен келісім-шартқ а отырды.

Қ ұ ралды ө ндіріске қ оятын кә сіпорынғ а келісім-шарт бойын-ша фермер 750 млн. тең ге тө леуге тиіс. Келісім шартта бірінші екі ай ө ткеннен кейін 150 млн. тең ге, ал қ алғ ан 600 млн. тең гені алты айдан соң, қ ұ ралды ө ндіріске енгізгізіп, сынақ тан ө ткізгеннен кейін тө леу керектігі кө рсетілген.

5.4–кесте. Салым салу тә сілдерінің алғ ашқ ы мә ліметтері

Фермер келісім-шарт жасалғ ан кү ннен бастап мақ сат қ орын жинақ тауғ а кірісті. Мақ сат қ ор жинақ талғ аннан кейін қ аражатты белсендіру ү шін (активтендіру), ол депозитке қ ойылмақ шы. Сө зсіз, мұ ндай іс–ә рекет фермердің қ аражатын ө сірудің бір тә сілі. Мақ -саттық қ ор фермер сатып алатын қ ұ ралдың қ ұ нынан (750 млн. тең геден) айтарлық тай аз болуы керектігін жақ сы тү сінеді. Деген-мен, қ ұ ралдың қ ұ нын толық тө леген кездің ө зінде, ө сім салымына қ ойғ ан қ аражат, оғ ан бір шама кө п те болуы мү мкін. Бірақ фермердің инвестрлік мү мкіншілігі келісім-шартта кө рсетілген ә рекеттердің уақ ытында орындалуын қ амтамасыздандыра ала ма? Мү мкін мақ саттық қ ор кө пте болар, онда фермерге оны салымғ а қ ою тиімсіз болуы да мү мкін. Сө йтіп, мақ сат қ орын қ ұ рып, ақ ша-ны инвестрлеудің бірнеше нұ сқ алары (есепте A, B, C, D (5.4–кесте)) бар екеніне кө з жеткізуге болады. Фермер барлық мү мкін бола алатын нұ сқ алардың (есепте келтірілген нұ сқ аларды бір–бірімен байланыста қ арастырса 60-тан астам жаң а нұ сқ аларды алуғ а болады) ішінен ақ шаны салымғ а пайыздық ү стемемен қ ою-дың 12 тә сіліне тоқ талды делік. Салым нұ сқ асы, олардың ұ зақ -тығ ы, салым салу уақ ыты жә не пайыздық ү стемесі 5.4 жә не 5.5–кестелерде келтірілген.

Кестедегі келтірілген деректер бойынша қ ұ ралдың қ ұ нын тө леуді қ амтамасыз ететін мақ саттық қ ордың мө лшерін мини-мальдау керек.

Сө йтіп, мынадай сұ рақ тар туады:

– қ ұ ралдың толық қ ұ нын шартта кө рсетілген уақ ытта тө леуді қ амтамасыз ететін мақ саттық қ ордың мө лшері қ анша болуы тиіс?

– уақ ыт мезгілінің бас кезінде, жетінші айдың басында (6–ай біткеннен кейін) тө ленетін ақ шаның бір тең гесінің бағ асы қ анша?

– уақ ыт мезгілінің бас кезінде, бесінші айдың басында (4–ай біткеннен кейін) тө ленетін ақ шаның бір тең гесінің бағ асы қ анша?

5.5–кесте. Салым салу жә не қ аражатты қ айтару мү мкіндіктері туралы деректер (ү лестік коэффициенттері)

Ескерту: Кестеде жолдар бойынша бір нү сқ ада ақ шаны пайыздық ү стемеге салу (коэффициенті 1, 00 тең) жә не қ айтару (коэффициенті, пайыздық ү стеме (5.4–кестені қ араң ыз) жә не қ осылғ ан бір) ә рекеттердің коэффициенттері келтірілген.

Шешімі. Келесідей белгілерді енгізейік:

y – мақ саттық қ ордың мө лшері;

x_Ai – i- айында салынатын А-нұ сқ асындағ ы салым мө лшері;

x_Bi – i- айында салынатын B-нұ сқ асындағ ы салым мө лшері;

x_Ci – i- айында салынатын C-нұ сқ асындағ ы салым мө лшері;

x_Di – i- айында салынатын D-нұ сқ асындағ ы салым мө лшері;

Ақ шаны қ олда сақ тау ешқ андай да пайда тү сірмейді, сон-дық тан қ олғ а ақ ша тү ссе кез келген айда оны пайыздық ү стемемен іске саламыз. Осы жағ дайды ескеріп жә не 5.5–кестедегі деректер бойынша мақ саттық қ орды минимальдау есебінің моделі тө мен-гідей тү рде жазылады:

Мақ сат функция

Мына жағ дайда:

Тұ рғ ызылғ ан модельді матрица кестесіне (5.6–кестеге қ ара-ң ыз) жазып, есепті компьютерде шығ арайық.

Есептің компьютерде алынғ ан нә тижесінен (5.6–кесте) мына кө рсеткіштердің оң тайлы мә ндерін анық тадық:

– минимальды мақ саттық қ ор y = 678 925, 4 тең ге, яғ ни қ ұ ралдың толық қ ұ нын шартта кө рсетілген уақ ытта тө леуді қ ам-тамасыз ететін мақ саттық қ ордың мө лшері;

– A – нұ сқ асы бойынша бірінші ай басында салымғ а ақ ша X_a1 = 0, салу тиімсіз;

– B – нұ сқ асы бойынша бірінші ай басында салымғ а X_b1 =144 927, 5 тең ге ақ ша салғ ан пайдалы, яғ ни тиімді;

– C – нұ сқ асы бойынша бірінші ай басында салымғ а X_c1 =533 997, 8 тең ге ақ ша салу пайдалы, яғ ни тиімді жә не т.б. с.с.

5.15–сурет. Сандық экономикалық –математикалық модельдің шешімі

5.6–кесте. Есептің компьютерде алынғ ан нә тижесі

5.7–кесте. Мақ сат функция коэффициенттерінің орнық тылығ ы

5.8–кесте. Шектеулердің оң жақ тарының орнық тылық аралық тары

Модельде қ осалқ ы бағ аның тү сіндірмесі ө те қ ызық ты. Мы-салы, соң ғ ы шектеудің қ осалқ ы бағ асы 0, 8899 тең (5.7–кестені қ араң ыз). Осы мә н, жарты жылдан кейін бір қ осымша тең гені ө теу ү шін, мақ саттық қ ордың мө лшерін 0, 8899 тең геге кө бейту керек-тігін білдіреді. Сонымен, қ осалқ ы бағ аның шамасы, жарты жылдан кейін тө лейтін, уақ ыттың басқ ы мезгіліне келтірілген бір тең генің бағ асын кө рсетеді.

Есептің шарты бойынша уақ ыт мезгілінің бас кезінде, жетін-ші айдың басында (6–ай біткеннен кейін) тө ленетін ақ шаның бір тең гесінің бағ асы 0, 8899 тең ге жә не бесінші айдың басында (4–ай біткеннен кейін) тө ленетін ақ шаның бір тең гесінің бағ асы 0, 929 тең ге болатындығ ы анық талды.