Моделирование сезонных и циклических колебаний.

Общий вид моделей: Y = T + S + E, Y = T× S× E.

Выбор одной из 2-х моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно const, строят аддитивную модель, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги:

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2. Расчет значений сезонной компоненты S.

3. Устранение сезонной компоненты из исходных уравнений ряда и получение выровненных данных (T+E) в аддитивной или (T× E) в мультипликативной модели.

4. Аналитическое выравнивание уровней (T+E) или (T× E) и расчет значений T с использованием полученного уравнения тренда.

5. Расчет полученных по модели значений (T+E) или (T× E).

6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, или можно заметить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок E для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней:

1 шаг.

1) Для этого суммируется, уровни ряда последовательно за каждые 4 квартала со сдвигом на 1 момент времени и определяются условные годовые объемы, уровни и т.д.

2) Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние. Полученные т.о. выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.

3) Приведем эти значения в соответствии с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние.

2 шаг.

Оценки сезонной компоненты найдем как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними. Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S. Для этого найдем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты S_i. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. Например, в аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

В мультипликативной модели взаимопогашаемость сезонных воздействий выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. Например, при сезонных колебаниях число периодов одного цикла (год) равно 4 (4 квартала).

В аддитивной модели: где K – корректирующий коэффициент, и тогда å S_i = 0;

В мультипликативной модели: , и тогда

3 шаг. Устранение сезонной компоненты.

В аддитивной модели вычитаем ее значения из каждого уровня исходного временного ряда. Получим T+E =Y-S.

В мультипликативной модели разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. Тем самым получим T× E =Y¸ S, которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.

4 шаг. Определение компоненты T данной модели.

Для этого проводится аналитическое выравнивание ряда T+E (T× E) с помощью линейного тренда

Для этого посчитаем a – const, b – коэффициент регрессии, стандартную ошибку коэффициента регрессии R ², число наблюдений и число степеней свободы. С помощью них определяем значимость регрессии.

5 шаг. Найдем значения уровней ряда по T_i – полученным по теоретической (аналитической) формуле и S_i – значениям сезонной компоненты для соответствующих кварталов.

Это абсолютные значения (абсолютные ошибки). По аналогии с моделью регрессии для оценки качества построенной модели или для выбора наилучшей модели можно применять сумму квадратов полученных абсолютных ошибок.

это доля факторной дисперсии уровней ряда объясняет полученное количество процентов от общей вариации уровней временного ряда.