VI. Устранение гетероскедастичности

Если наблюдается гетероскедастичность, то МНК – оценки будут неэффективными. Одним из вариантов улучшения ситуации является использование обобщенного (взвешенного) МНК. Суть метода заключается в уменьшении вклада данных наблюдений, имеющих большую дисперсию в результате расчета.

Пусть рассматриваются регрессионная исходная модель

(5)

или в матричном виде Y = X× b + e. Будем считать, что модель гетероскедастична, т.е. дисперсии возмущений , не равны между собой, и сами возмущения e_i и e_k не коррелированны. Это означает, что ковариационная матрица вектора возмущений – диагональная:

Допустим, что дисперсии известны, тогда гетероскедастичность легко устраняется. В самом деле, будем рассматривать в качестве i -го наблюдения зависимой Y и объясняющих переменных X_j (j = 1, 2, …, p) нормированные по s_i переменные, т.е.

Тогда модель имеет вид

(6)

Где

Очевидно, получившаяся модель гомоскедастична, т.к. дисперсия остатков постоянна. При этом ковариационная матрица W становится единичной. Если для отыскания параметра b использовать формулу

(7)

вместо

которая обычно получается при использовании МНК, то по теореме Айткена [? ] оценка первая имеет наименьшую ковариационную матрицу.

Применение формулы (7) для отыскания параметра b, т.е. обобщенный метод наименьших квадратов для модели с гетероскедастичностью, когда ковариационная матрица возмущений W есть диагональная матрица, называемая взвешенным методом наименьших квадратов.

Применяя МНК, находим неизвестные параметры регрессионной модели минимизируя используя обобщенный МНК, минимизируя наконец, в частном случае, применяя взвешенный МНК, минимизируя

“Взвешивая” каждый остаток e_i с помощью коэффициента , мы добиваемся равномерного вклада остатков в общую сумму, что приводит в конечном счете к получению наиболее эффективных оценок параметров модели.

На практике, однако, значения s_i почти никогда не бывают известны. В этом случае, при нахождении переменных в формуле (6), значения s_i следует заменить их оценками .

Оценка параметров регрессионной модели взвешенным МНК состоит из следующих шагов:

1) Применить обычный МНК к модели (5);

2) Найти регрессию квадратов остатков на квадратичные функции регрессоров, т.е. найти уравнение регрессии (2) из теста Уайта, где f – квадратичная функция, аргументами которой являются квадраты значений регрессоров и их попарные произведения;

3) Вычислить прогнозные значения по полученному уравнению регрессии;

4) Получить набор “весов”: ;

5) Ввести новые переменные

6) Найти уравнение , полученная оценка b и есть оценка взвешенного МНК исходного уравнения (5).

На практике процедура устранения гетероскедастичности может представлять технические трудности, т.к. реально в матрице W присутствуют не сами стандартные отклонения ошибок регрессии, а их оценки. А это значит, что модель (6) не обязательно окажется гомоскедастичной.

Причины этого следующие:

1. далеко не всегда оказывается справедливым само предположение (2) теста Уайта или (3) теста Глейзера;

2. функция f в (2) и (3), вообще говоря, не обязательно степенная (и уж тем более, не обязательно квадратичная), и в этом случае, ее подбор может оказаться далеко не столь простым.

Другим недостатком тестов Уайта и Глейзера является то, что факт не выявления или гетероскедастичности, вообще говоря, не означает ее отсутствия. Принимая гипотезу H₀, мы принимаем лишь тот факт, что отсутствует определенного вида зависимость дисперсий ошибок регрессии от значений регрессоров.