II. Тест серий Бреуша-Годфри

Тест основан на следующей идее: если имеется корреляция между соседними наблюдениями, то естественно ожидать, что в уравнении

(*)

где e_i – остатки регрессии, получаемые обычным МНК, коэффициент r окажется значимо отличающимся от нуля.

Практическое применение теста заключается в оценивании МНК регрессии (*), где временной ряд e_{i -1} представляет ряд e_i со сдвигом по времени на единицу.

Преимущество теста Б-Г по сравнению с тестом Д-У заключается в том, что он проверяет с помощью статистического критерия, между тем как тест Д-У содержит зону неопределенности для значений d – статистики. Другим преимуществом теста является возможность обобщения: в число регрессоров могут быть включены не только остатки с лагом 1, но и с лагом 2, 3 и так далее, что позволяет выявить корреляцию не только между соседними, но и между более отдаленными наблюдениями.

III. Q – тест Льюинга-Бокса (англ)

Тест основан на рассмотрении выборочных автокорреляционной и частной автокорреляционной функций временного ряда. Функция как последовательность r₁, r₂, … была введена в п.номер, для нее можно записать общую формулу

Если ряд стационарный, то, как можно доказать, выборочный частный коэффициент корреляции совпадает с оценкой обычного МНК коэффициента b_p в модели

это утверждение лежит в основе вычисления значений частной автокорреляционной функции. Напомним, что график выборочной автокорреляционной функции называется коррелограммой. Коррелограмма является быстро убывающей функцией. Если формально построенная коррелограмма не удовлетворяет этому свойству, это, скорее всего, означает, что ряд на самом деле нестационарный. Очевидно, что в случае отсутствия автокорреляции все значения автокорреляционной функции равны нулю. Конечно, ее выборочные значения окажутся отличными от нуля, но в этом случае отличие не должно быть существенным.

Статистика Льюинга-Бокса имеет вид:

можно доказать, что если верна гипотеза H₀ о равенстве нулю всех коэффициентов корреляции то статистика Q_p имеет распределение с p степенями свободы.