Понятие интервальной оценки параметров распределения. Доверительный интервал для неизвестной вероятности для умеренно больших выборок.

Интервальной оценкой параметра Ɵ называется числовой интервал

который с заданной вероятностью γ накрывает неизвестное значение параметра Ɵ.

Такой интервал называется доверительным, а вероятность γ – доверительной вероятностью, уровнем доверия или надежностью оценки.

Величина доверительного интервала существенно зависит от объема выборки n (уменьшается с ростом n) и от значения доверительной вероятности γ (увеличивается с приближением γ к единице).

Построение доверительного интервала для генеральной доли по умеренно большим выборкам. Объем выборки может быть не настолько велик, чтобы использовать приближенную формулу вместо точной .В этом случае, учитывая формулы и доверительный интервал для генеральной доли p следует искать из условия .Возводя обе части неравенства в квадрат, преобразуем его к равносильному:

Областью решения неравенства яв-ся внутренняя часть эллипса, проходящего через точки (0; 0) и (1; 1) и имеющего в этих точках касательные, параллельные оси абсцисс.

Так как величина w между 0 и 1, то область D нужно еще ограничить слева и справа прямыми w=0 и w=1.По найденному по выборке значению w границы доверительного интервала (р1, р2) для р определяются как точки пересечения соответствующей вертикальной прямой с эллипсом. Чем больше объем выборки n, тем «доверительный эллипс» более вытянут, тем уже доверительный интервал.

Границы р1 и р2 доверительного интервала для р могут быть найдены из соотношения по формуле .В случае больших выборок, при n→ ∞, t² /n, t² /2n, (t/2n)² можно пренебречь, и получим: