Проверка гипотез о равенстве дисперсий двух совокупностей.

На практике задача сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить точность приборов, инструментов, методов измерений. Очевидно, предпочтительнее тот прибор, который обеспечивает наименьшее рассеивание результатов измерений, т.е. наименьшую дисперсию.

Пусть имеюься две нормально распределенные совокупности, дисперсии которых равны σ ₁² и σ ₂². Необходимо проверить нулевую гипотезу о равенстве дисперсий, т.е относительно конкурирующей H₁: σ ₁² > σ ₂² или Hʹ ₁: σ ₁² ≠ σ ₂².

Для проверки гипотезы Н₀ из этих совокупностей взяты две независимые выборки объемом n₁ и n₂ . Для оценки дисперсий используются «исправленные» выборочные дисперсии Ŝ ₁² и Ŝ ₂². Следовательно, задача проверки гипотезы сводится к сравнению дисперсий Ŝ ₁² и Ŝ ₂².

При справедливости гипотезы Н₀: σ ₁² = σ ₂² = σ ² в качестве оценки σ ² можно взять те же дисперсии Ŝ ₁² и Ŝ ₂², рассичтанные по элементам первой и второй выборок.

Напомим, чтот выборочные характеристики и имеют распределение χ ² соответственно с k₁= n₁ -1 и k₂ = n₂ -1, а их отношение имеет F-распределение Фишера-Снедекора с k₁ и k₂ степенями свободы. Следовательно, с СВ F, определяемая отношением:

, т.е. отношением «исправленных» выборочных дисперсий.

Порядок применения F-критерия:

1. Получают две независимые выборки из совокупностей X и Y.
2. Рассчитываютзначения исправленных выборочных дисперсий.
3. Вычисляется значение F-критерия по формуле
4. По таблице крит. Точек Фишера находится критическая точка.
5. Вывод: если вычисленное значение F-критерия больше или равно критическому, то дисперсии различаются значимо на заданном уровне значимости α. В противном случае нет оснований для отклонения нулевой гипотезы о равенстве двух дисперсий.