Операции над матрицами

Некоторые операции над матрицами, такие как сложение и вычитание, допускаются только для матриц одинакового размера.

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны:

Произведением матрицы на число называется матрица, полученная из исходной умножением каждого ее элемента на заданное число.

Суммой матриц и одного размера называется матрица такого же размера, получаемая из исходных путем сложения соответствующих элементов.

Операции умножение матрицы на число и сумма матриц называются линейными.

Свойства линейных операций:

Везде далее матрицы , и - матрицы одного размера.

1. Ассоциативность
2. , где - нулевая матрица соответствующего размера.
3. 
4. Коммутативность
5. Дистрибутивность
6. 
7. 

Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что элемент матрицы , стоящий в -ой строке и -ом столбце, т.е. элемент , равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -ого столбца матрицы .

Свойства произведения матриц:

1. Ассоциативность
2. Ассоциативность по умножению
3. Дистрибутивность ,
4. Умножение на единичную матрицу
5. В общем случае умножение матриц не коммутативно, т.е.
6. 

Транспонирование матрицы - это операция над матрицей, когда ее строки становятся столбцами с теми же номерами.
Свойства транспонирования матриц: