Физический смысл тройного интеграла

Если в области V, то тройной интеграл представляет собой массу тела, занимающего область V и имеющего переменную плотность

Основные свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойных интегралов.

Занятие №1. Криволинейные области интегрирования

Цель занятия: усвоить новые учебные элементы на уровне умения решать типовые задачи.

Учебные вопросы

1. Построение области интегрирования в декартовых и полярных координатах. Расстановка пределов интегрирования.

2. Изменение порядка интегрирования.

Ход занятия

Задача 1. Построить область интегрирования ограниченную линиями, расставить пределы интегрирования в интеграле

а)

Решение. 1. Построим область D. Первая линия – парабола с вершиной в т. симметричная относительно оси Оу. Вторая линия – прямая.

2. Выбираем порядок интегрирования по виду области т.е. решим по какой переменной будем интегрировать внешний интеграл и по какой переменной внутренний. Из рисунка 5 видно, что область ограничена слева и справа прямыми и а снизу и сверху непрерывными линиями и каждая из которых пересекается вертикальной прямой только в одной точке. Следовательно,

3. Найдем пределы интегрирования.

Значения и находим, решая совместно уравнения:

Переменная у будет изменяться в области D от ее значения на нижней части контура до ее значения на верхней части этого контура. Таким образом:

Рис. 5	Рис. 6

б)

Решение. 1. Построим область интегрирования D (рис. 6).

2. Выберем порядок интегрирования. В этом случае область проектируется на ось в отрезок и прямая параллельная оси пересекает границы области слева и справа только в одной точке.

Следовательно, внешний интеграл вычисляем по переменной у, а внутренний – по х, т.е.

3. Найдем пределы интегрирования.

Значения и найдем, решая совместно уравнения:

Чтобы найти пределы интегрирования внутреннего интеграла надо уравнения линий, ограничивающих область решить относительно переменной х. Получим:

и

Поэтому

Замечание. Интеграл с переменными пределами (от линии до линии) вписывается внутрь двукратного интеграла, а интеграл с постоянными пределами (от точки до точки) записывается внешним интегралом.

Задача 2. Решить самостоятельно по образцу задачи 1. Построить область , ограниченную линиями, расставить пределы интегрирования в интеграле:

Задача 3. Построить область интегрирования ограниченную линиями и расположенную вне круга, расставить пределы интегрирования в интеграле:

Решение. 1. Построим область D. Линии заданы в полярной системе координат.

Рис. 7

окружность.

Для построения линии воспользуемся таблицей (рис. 7):

2. Запишем двукратный интеграл:

3. Найдем пределы интегрирования.

Чтобы определить, как изменяется в области полярный угол проведем лучи в точки и В области Решая совместно уравнения линий, ограничивающих область, найдем значения угла

Теперь найдем пределы изменения полярного радиуса r. Из полюса проведем произвольный радиус. Видим, что он пересекает линию а при выходе из области – линию

Тогда

Задача 4. Построить область интегрирования, изменить порядок интегрирования:

Решение. Определяем область интегрирования. Полагая х равным пределам интеграла по переменной х, а у – равным пределам интегрирования по переменной у, получим уравнения линий, ограничивающих эту область (рис.8):

Рис. 8

Поменяем порядок интегрирования, т.е. интегрируем вначале по х, затем по у:

Найдем пределы интегрирования:

Тогда

Задача 5. Решить самостоятельно по образцу задач 1 и 4. Изменить порядок интегрирования:

Указание. Область интегрирования надо разбить на две: и т.к. интегрируя по х во внутреннем интеграле, мы имеем две разные линии выхода из области: и АВ (рис. 9, 10).

Рис. 9	Рис. 10

б)

Вывод: из этих примеров видно, что выбор порядка интегрирования не безразличен. Выбрав рационально порядок интегрирования, можно сократить вычисления.