![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Физический смысл тройного интеграла
Если Основные свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойных интегралов.
Занятие №1. Криволинейные области интегрирования
Цель занятия: усвоить новые учебные элементы на уровне умения решать типовые задачи. Учебные вопросы 1. Построение области интегрирования в декартовых и полярных координатах. Расстановка пределов интегрирования. 2. Изменение порядка интегрирования.
Ход занятия
Задача 1. Построить область интегрирования а) Решение. 1. Построим область D. Первая линия – парабола с вершиной в т. 2. Выбираем порядок интегрирования по виду области 3. Найдем пределы интегрирования. Значения Переменная у будет изменяться в области D от ее значения
б) Решение. 1. Построим область интегрирования D (рис. 6). 2. Выберем порядок интегрирования. В этом случае область проектируется на ось Следовательно, внешний интеграл вычисляем по переменной у, а внутренний – по х, т.е. 3. Найдем пределы интегрирования. Значения Чтобы найти пределы интегрирования внутреннего интеграла надо уравнения линий, ограничивающих область
Поэтому Замечание. Интеграл с переменными пределами (от линии до линии) вписывается внутрь двукратного интеграла, а интеграл с постоянными пределами (от точки до точки) записывается внешним интегралом.
Задача 2. Решить самостоятельно по образцу задачи 1. Построить область
Задача 3. Построить область интегрирования Решение. 1. Построим область D. Линии заданы в полярной системе координат. Рис. 7
Для построения линии
2. Запишем двукратный интеграл: 3. Найдем пределы интегрирования. Чтобы определить, как изменяется в области Теперь найдем пределы изменения полярного радиуса r. Из полюса проведем произвольный радиус. Видим, что он пересекает линию Тогда
Задача 4. Построить область интегрирования, изменить порядок интегрирования: Решение. Определяем область интегрирования. Полагая х равным пределам интеграла по переменной х, а у – равным пределам интегрирования по переменной у, получим уравнения линий, ограничивающих эту область (рис.8): Рис. 8 Поменяем порядок интегрирования, т.е. интегрируем вначале по х, затем по у: Найдем пределы интегрирования: Тогда
Задача 5. Решить самостоятельно по образцу задач 1 и 4. Изменить порядок интегрирования: Указание. Область интегрирования
б) Вывод: из этих примеров видно, что выбор порядка интегрирования не безразличен. Выбрав рационально порядок интегрирования, можно сократить вычисления.
|