Занятие №3. Вычисление двойных интегралов в полярной системе координат

Цель занятия: усвоить правило вычисления двойного интеграла в полярных координатах на уровне умения решать типовые задачи.

Учебные вопросы

1. Вычисление двойных интегралов в полярной системе координат.

2. Переход от декартовых координат к полярным при вычислении двойных интегралов.

Ход занятия

Вспомним, что если область интегрирования двойного интеграла отнесена к системе полярных координат то и обычно

(*)

Задача 1. Решить самостоятельно. Вычислить интеграл:

Задача 2. Вычислить интеграл:

где окружность радиуса а.

Решение. Построим окружность Видим, что r изменяется от 0 до а, а - от 0 до (рис. 12).

Воспользуемся формулой (*), получим:

Вычисление начинаем, как обычно, с внутреннего интеграла:

Затем

Ответ:

Рис. 12	Рис. 13

Задача 3. Вычислить двойной интеграл

где область ограничена линиями и

Решение. Построим область D (рис. 13).

Чтобы определить, как изменяется в области полярный угол проведем лучи в точки А и В области D. Решая совместно уравнения линий, ограничивающих область D, найдем значения угла

Теперь найдем пределы изменения полярного радиуса r. Из полюса проведем произвольный радиус. Видим, что он пересекает линию а при выходе из области – линию

По формуле (*):

Внутренний интеграл:

Внешний интеграл:

Ответ:

Задача 4. Решить самостоятельно по образцу задач 2 и 3. Вычислить двойной интеграл

если область D:

1) круговой сектор, ограниченный линиями

2) полукруг

3) заключена между линиями

Задача 5. Преобразовать к полярным координатам и затем вычислить двойной интеграл

где круговое кольцо, заключенное между окружностями и

Решение. Пользуясь формулами связи декартовых и полярных координат

получим и полярные уравнения данных окружностей (рис. 14).

Тогда

Ответ:

Рис. 14