Вычисление площади поверхности

Если гладкая однозначная поверхность задана уравнением то площадь поверхности выражается формулой

(*)

где проекция данной поверхности на плоскость XOY.

Задача 13. Найти площадь части сферы заключенной внутри цилиндра (рис. 21).

Решение. Из уравнения сферы имеем (для I октанта)

Используем формулу (*):

Рис. 21	Рис. 22

Часть сферы, расположенная в I октанте, проектируется в полукруг, ограниченный окружностью и осью Oу. Этот полукруг и является областью интегрирования D.

Поверхность расположена в четырех октантах, а потому искомая площадь:

Перейдем к полярным координатам, используя формулы:

Тогда уравнение окружности примет вид

Ответ:

Решить самостоятельно по образцу задачи 13:

Задача 14. Найти площадь части конуса заключенной внутри цилиндра (рис. 22).

Задача 15. Найти площадь части поверхности конуса расположенной в первом октанте между плоскостями

Задача 16. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: