Занятие №7. Вычисление криволинейных интегралов

Цель занятия: усвоить правила вычисления криволинейных интегралов на уровне умения решать типовые задачи.

Учебные вопросы

1. Криволинейный интеграл по длине дуги (I рода).

2. Криволинейные интегралы II рода.

3. Приложения криволинейных интегралов.

Ход занятия

1. Криволинейный интеграл по длине дуги (I рода)

Правило вычисления криволинейного интеграла по длине. Для того чтобы криволинейный интеграл

где линия задана параметрическими уравнения и преобразовать в обыкновенный, нужно в подынтегральном выражении положить

и взять интеграл по интервалу изменения t, соответствующему линии интегрирования.

Если уравнение линии имеет вид то дифференциал дуги

Задача 1. Вычислить криволинейный интеграл

где первая арка циклоиды (рис. 33).

Рис. 33

Решение. Переходим к переменной t, пределы изменения которой для первой арки циклоиды от 0 до

Ответ:

Задача 2. Вычислить криволинейный интеграл:

где отрезок прямой, соединяющий точки и

Решение. Составим уравнение прямой ОА: (рис. 34).

Рис. 34

Следовательно,

Подставим все в интеграл, получим

Ответ:

Решить самостоятельно по образцу задач 1 и 2. Вычислить криволинейные интегралы:

Задача 3. где четверть эллипса, лежащая в первом квадранте.

Указание. Параметрические уравнения эллипса

Задача 4. где контур квадрата

2. Криволинейные интегралы второго рода

Правило вычисления криволинейного интеграла по координатам (второго рода).

Для того чтобы криволинейный интеграл

взятый по линии , уравнение которой либо либо преобразовать в обыкновенный интеграл, нужно в подынтегральном выражении заменить либо у через функцию от х в пределах а также выразить либо заменить х, у, dx и dy их выражениями через t и dt в пределах и вычислить получившийся интеграл от одной переменной.

Задача 5. Вычислить интеграл принимая за линию дугу параболы соединяющую точки и (рис. 35).

Решение.

Рис. 35

Т.к.

то

Ответ:

Решить самостоятельно по образцу задачи 5. Вычислить криволинейные интегралы:

Задача 6. где дуга параболы от точки до точки

Задача 7. где дуга первой арки циклоиды пробегаемая в направлении возрастания параметра t.

Задача 8. взятый вдоль отрезка AB биссектрисы второго координатного угла, если абсцисса точки А равна 2 и ордината точки В равна 2.