Задание для самостоятельной работы. Задача 1. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

Задача 1. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

1)

2)

3)

4)

5)

Указание. 1. Необходимо вспомнить геометрические образы, соответствующие данным уравнением или построить данные поверхности методом сечений.

2. В случае 5) перейти к сферическим координатам.

2. Решение физических задач с помощью тройных интегралов

1) Статистические моменты.

Произведение массы точки на ее расстояние от какой-нибудь оси называется статистическим моментом этой точки относительно оси. Сумма статистических моментов точек называется статистическим моментом системы. Статистические моменты тела с плотностью в каждой точке относительно координатных плоскостей имеет вид:

2) Центр тяжести можно определить как такую точку, что если в ней сосредоточить всю массу системы, то ее статистический момент относительно какой-нибудь оси будет равен соответствующему статистическому моменту всей системы. Координаты центра тяжести определяются по формулам:

где есть масса тела.

3) Масса тела, занимающего объем V с заданной объемной плотностью в точке тела вычисляется по формуле:

4) Моментом инерции материальной точки P с массой M относительно какой-либо оси называется произведение массы на квадрат расстояния точки P от этой оси. Квадраты расстояний от точки до осей соответственно равны

тогда моменты инерции находятся по формулам:

Решение физических задач сводится к вычислению тройных интегралов, что было рассмотрено на предыдущем занятии.