Правило вычисления

1. Построить в плоскости XOY область, на которую проектируется тело объема V, определить линии, ограничивающие эту область.

2. Записать уравнения поверхностей и ограничивающих объем V снизу и сверху.

3. Вычислить сначала внутренний интеграл по переменной z, считая x и y постоянными; от полученного результата вычислить средний интеграл по переменной , считая постоянной величиной; затем от полученного результата вычислить внешний интеграл по переменной х. Проектировать область V можно на любую координатную плоскость, соблюдая свойства правильной трехмерной области.

1. Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах

Задача 1. Вычислить тройной интеграл

где область V ограничена плоскостями:

Решение. Построив данные плоскости, получим треугольную призму (рис. 36). Пользуясь формулой, имеем:

Рис. 36

Ответ:

Решить самостоятельно по образцу задачи 1. Вычислить трехкратные интегралы и построить их области интегрирования:

Задача 2.

Задача 3.

Задача 4.

Задача 5.

2. Переход к цилиндрическим координатам в тройном интеграле

Связь декартовых координат и цилиндрических осуществляется по формулам:

где смысл виден из рисунка 37.

Рис. 37

Задача 6. Вычислить тройной интеграл

где область V ограничена поверхностью

Решение. Построим область V. Методом сечений (аналитическая геометрия в пространстве) имеем:

есть окружность в плоскости

есть эллипс в плоскости YOZ;

есть эллипс в плоскости XOZ.

Рис. 38. Эллипсоид вращения

где находим из уравнения эллипсоида

Вычислим внутренний интеграл по переменной z:

Получим двойной интеграл:

где область D в плоскости XOY есть окружность В случае «круглой» области D (как в нашем случае) удобно перейти к координатам

Получим

Ответ:

Задача 7. Решить самостоятельно по образцу задачи 6. Вычислить тройной интеграл

по области V, ограниченной поверхностями

и

Указание. Геометрический образ конус, открытый в сторону поэтому удобно проектировать конус на координатную плоскость XOZ (рис. 39). Имеем

где

При интегрировании по области D (окружность) удобно перейти к координатам уравнение окружности имеет вид:

Рис. 39

3. Переход к сферическим координатам в тройном интеграле

Связь декартовых и сферических координат осуществляется по формулам:

где смысл виден из рисунка 40.

Рис. 40

Задача 8. Вычислить интеграл где область V – область, ограниченная поверхностью

Решение. Построим область V, которая представляет собой шар, ограниченный сферой, уравнение которой удобно записать в виде:

(рис. 41).

Рис. 41

Данный интеграл можно вычислить с помощью повторного интегрирования в прямоугольных координатах, но эти вычисления представляют собой определенную сложность.

Удобнее перейти к сферическим координатам:

причем переменная изменяется от 0 до а при каждом значении переменная Q изменяется от 0 до

Подставляя сферические координаты в уравнение сферы, получим:

Эти две поверхности в пространстве при ограничивают снизу и сверху область V. Тогда

Ответ:

Задача 9. Решить самостоятельно по образцу задачи 8. Вычислить интегралы, перейдя к сферическим координатам:

а) где V – область, ограниченная поверхностью

б)