Приклад 7

Вантаж масою , підвішений до пружини з жорсткістю , здійснює гармонічні коливання в деякому середовищі. Логарифмічний декремент затухання коливань . Скільки коливань має здійснити вантаж, щоб їх амплітуда зменшилась удвічі? Скільки при цьому коливальна система втратить енергії? За який час відбудеться це зменшення?

Дано:

Розв’язування

Вантаж зазнає затухаючих коливань. Амплітуда першого коливання , а -го коливання , де – кількість коливань; Т – період затухаючого коливання; – коефіцієнт затухання.

Знайдемо відношення амплітуд:

,

де – логарифмічний декремент затухання коливань.

Визначимо з цієї формули кількість коливань :

,

звідки

.

Енергія коливального процесу пропорційна квадрату амплітуди. Тому можна записати:

,

де і – повна енергія коливальної системи відповідно в початковий момент і через коливань.

З останньої формули знайдемо, що .

Тоді втрата енергії коливальної системи у відсотках

.

Отже, втрата енергії за коливань становить 75%.

Час, упродовж якого амплітуда коливань зменшується вдвічі і розсіюється 75% енергії, дорівнює:

,

де – період затухаючих коливань;

– циклічна частота власних коливань пружинного маятника.

Період затухаючих коливань

, звідки .

Взявши до уваги, що , значенням у цій формулі можна знехтувати. Тоді:

.

Після підстановки, отримаємо остаточну формулу:

.

Відповідь: ; ; .