Пример 8.1.

Портфель состоит из двух активов А и В. Е(r_a) = 15%, Е(r_B) = 10%.

Стоимость актива А – 300 тыс. руб., актива В – 700 тыс. руб. Необходимо определить ожидаемую доходность портфеля.

Стоимость портфеля равна: 300 тыс.+ 700 тыс. =1000 тыс. руб.

Удельные веса активов равны:

d₁ = d₂ =

Для определения ожидаемой доходности портфеля на основе ожидаемой доходности активов воспользуемся формулой 8.3:

E(r_p) =15% ∙ 0, 3 +10% ∙ 0, 7 =11, 5%.

Ответ: доходность портфеля составит 11, 5%.

При оценке связи между показателями доходности ценных бумаг различных эмитентов предполагают, что эта связь моделируется с помощью линейной однофакторной зависимости. Данные о доходности одного из эмитентов будем называть «показатель» и обозначим его Y_i, а данные другого эмитента будем называть «фактор» и обозначим его Х_i.

Простейшей мерой тесноты связи между показателем и фактором является функция S, которая используется в методе наименьших квадратов для получения статистических коэффициентов уравнения регрессии а₀ и a₁. Чем «плотнее» точки, образованные парами наблюдений у_i и x_i лежат в районе линии регрессии, тем ближе связь между показателем Y и фактором X к функциональной (рис.1). Поскольку линия регрессии как бы вписывается в
«облако» точек, сумма квадратов остатков е_i² =(у_i – y_ip)² будет тем
меньшей, чем ближе статистическая связь к функциональной.

Рис. 1. Остатки однофакторной регрессии

Для проверки наличия корреляции при парной связи используется коэффициент ковариации (корреляционный момент) К_ух, который вычисляется по формуле

=

Если между Y и X связь отсутствует, то К_yx = 0; если связь есть,
то Кух ≠ 0. Проиллюстрируем данное утверждение на примере. Найдём коэффициенты ковариации (корреляционные моменты) для следующих пар наблюдений (рис.2):

первый случай – (1, 1); (5, 1); (5, 5); (1, 5);

второй случай – (1, 1); (2, 2); (3, 3); (4, 4); (5, 5).

Рис.2. Корреляция между Y и X

а – отсутствие корреляции; б – полная корреляция

В первом случае очевидно отсутствие корреляционной связи между Y и X, во втором – связь носит функциональный характер.

В первом случае = = 3; = = 3;

=

Во втором случае = = 3; = = 3;

=

Таким образом, анализ очевидных примеров показал справедливость утверждения о том, что при отсутствии связи (первый случай) К = 0, при функциональной связи К_ух ≠ 0.

Поскольку размерность коэффициента ковариации (корреляционного момента) зависит от размерности величин У и X, для оценки тесноты линейной связи используется безразмерная величина, называемая коэффициентом
парной корреляции (r_ух) и представляющая собой отношение корреляционного момента K_vx к произведению средних квадратических отклонений показателя и фактора σ _у и σ _x: = .

В первом случае = = 2;

= = 2.

Тогда: = .

Во втором случае также одинаковы и равны:

= .

Следовательно, = .

Если рассмотреть функциональную убывающую связь пар наблюдений (5, 1); (4, 2); (3, 3); (2, 4); (1, 5), то К_ух = -2, a r_yx = -1.

Полученные результаты позволяют сделать два вывода:

1) коэффициент парной корреляции изменяется в пределах от -1 (при функциональной убывающей связи) до +1 (при функциональной возрастающей связи);

2) коэффициент парной корреляции равен нулю при отсутствии
линейной связи между У и X.

Коэффициент парной корреляции является мерой приближения к линейной функциональной связи. Поэтому, если между У и X имеется функциональная связь, но она имеет нелинейный характер, то r_ух не будет равным единице.

Дисперсия определяется по формуле

(8.5)

где: σ ² — дисперсия доходности актива;

n — число периодов наблюдения;

r – средняя доходность актива; она определяется как средняя арифметическая

доходностей актива за периоды наблюдения, а именно:

(8.6)

где: ri — доходность актива в i -м периоде.

Стандартное отклонение определяется как квадратный корень из дисперсии σ = (8.7)

где: σ — стандартное отклонение доходности актива.