ВВЕДЕНИЕ. В настоящее время решение многих задач по расчету динамич

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ

И ИХ РЕАЛИЗАЦИЯ В Excel

НОВОСИБИРСК 2008

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (СИБСТРИН)

Г.А. Руев, Н.Н. Федорова, И.А. Федорченко

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ

И ИХ РЕАЛИЗАЦИЯ В Excel

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

НОВОСИБИРСК 2008

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время решение многих задач по расчету динамических нагрузок на строительные конструкции, тепловых потоков через стены дома и т.п. представляет собой довольно трудоемкий вычислительный процесс, и такие задачи могут быть решены только с помощью современных вычислительных машин. Умение пользоваться прикладными программными пакетами, знание основ численных методов и способность к реализации базовых численных алгоритмов являются необходимыми навыками современного выпускника технического ВУЗа.

Решение заданной проблемы содержит следующие основные этапы:

1. Физическая постановка задачи. На данном этапе описываются физические параметры задачи
2. Математическая постановка задачи. Выбор соответствующей математической модели, описывающей данную физическую задачу в математических терминах.
3. Выбор численного метода для реализации математической модели.
4. Реализация метода на каком-либо языке программирования или с помощью пакета решения прикладных задач (MathCad, MatLab, Excel).
5. Тестирование. Проведение тестовых расчетов и сравнение с точными решениями или данными эксперимента.

Простая математическая модель – это совокупность алгебраических формул, по которым явно вычисляются искомые величины. Однако чаще всего поведение параметров описывается сложными алгебраическими или дифференциальными уравнениями в частных производных. Найти решение этих сложных задач можно только с использованием современных быстродействующих ЭВМ.

Даже для того, чтобы воспользоваться стандартной, т.е. уже готовой программой, нужно иметь представление о существующих методах решения, их преимуществах, недостатках и особенностях использования.

Все методы решения уравнений можно разделить на два класса: точные и приближенные. В точных методах решение получают в виде формул за конечное число операций, однако их можно использовать только для решения уравнений специального вида. В общем случае задачу можно решить только приближенно. Приближенные методы позволяют получить решение в виде бесконечной последовательности, сходящейся к точному решению.

Использование ЭВМ выдвигает дополнительные требования к алгоритму нахождения как точного, так и приближенного решения: он должен быть устойчивым, реализуемым и экономичным. Устойчивость означает, что малые погрешности, внесенные в процесс решения, не приводят к большим ошибкам в конечном результате. Погрешности возникают из-за неточного задания исходных данных (неустранимые ошибки), из-за округления чисел, которое всегда имеет место при расчетах на ЭВМ, а также связаны с точностью используемого метода. Реализуемость алгоритма означает, что решение может быть получено за допустимое время. При этом надо иметь в виду, что время нахождения приближенного решения зависит от точности, с которой мы хотим получить результат. На практике точность выбирают с учетом реализуемости алгоритма на той ЭВМ, которую предполагается использовать для вычислений. Экономичным называется алгоритм, который позволяет получить решение с заданной точностью за минимальное количество операций, и, следовательно, за минимальное расчетное время.

В изучаемом курсе мы познакомимся с основными методами, используемыми для решения различных математических задач.