Метод Гаусса

Наиболее известным и популярным прямым методом решения СЛАУ является метод Гаусса. Этот метод заключается в последовательном исключении неизвестных. Метод состоит из двух этапов. На первом (прямом) этапе исходная система сводится к системе с треугольной матрицей, которая решается на втором (обратном) этапе. На прямом этапе используются следующие эквивалентные преобразования строк расширенной матрицы системы: перестановка строк, умножение строки на ненулевую константу, сложение строк.

Прямой этап. Пусть в системе уравнений

первый элемент . Назовем его ведущим элементом первой строки. Разделим все элементы этой строки на , и исключим из всех последующих строк, начиная со второй, путем вычитания первой (преобразованной), умноженной на коэффициент при в соответствующей строке. Получим

.

Если , то на него можно разделить второе уравнение, а затем исключить из всех остальных уравнений. С помощью аналогичных преобразований приходим к системе уравнений с верхней треугольной матрицей

(2.4)

Обратный этап. Решаем систему (2.4) с верхней треугольной матрицей в обратном порядке:

. (2.5)

В случае если один из ведущих элементов равен нулю, изложенный алгоритм метода Гаусса неприменим. Кроме того, если какие-либо ведущие элементы малы, то это приводит к усилению ошибок округления и ухудшению точности счета. Поэтому обычно используется другой вариант метода Гаусса – схема Гаусса с выбором главного элемента. Путем перестановки строк и других эквивалентных преобразований добиваются выполнения условия: , т.е. осуществляется выбор первого главного элемента. Переставляют уравнения так, чтобы в первом уравнении коэффициент был максимальный по модулю. Разделив первую строку на главный элемент, как и прежде, исключают из остальных уравнений. Затем для оставшихся столбцов и строк выбирают второй главный элемент и т.д.

ПРИМЕР 2.4. Рассмотрим применение метода Гаусса с выбором главного элемента на примере следующей системы уравнений:

.

В первом уравнении коэффициент при равен 0, во втором 1 и в третьем -2, т.е. максимальный по модулю коэффициент находится в третьем уравнении. Поэтому переставим третье уравнение на место первого:

.

В третьем уравнении коэффициент при равен 0. Исключим из второго уравнения:

Рассмотрим второе и третье уравнения. Исключим из третьего уравнения. Для этого умножим второе на -0.5 и сложим с третьим:

.

Далее находим значения обратным ходом: из третьего уравнения получаем , из второго , и из первого . Выполним проверку:

.

Такая перестановка уравнений необходима для того, чтобы уменьшить влияние ошибок округления на конечный результат.

Часто возникает необходимость в решении СЛАУ, матрицы которых являются слабо заполненными, т.е. содержат много нулевых элементов. В то же время эти матрицы имеют определенную структуру. Среди таких систем выделим системы с матрицами ленточной структуры, в которых ненулевые элементы располагаются на главной диагонали и на нескольких побочных диагоналях. Для решения систем с ленточными матрицами коэффициентов вместо метода Гаусса можно использовать более эффективные методы. Для случая трехдиагональных матриц разработан экономичный метод прогонки.