Метод прогонки. Рассмотрим метод прогонки для СЛАУ вида:

Рассмотрим метод прогонки для СЛАУ вида:

(2.6)

Решение данной системы ищем в виде:

(2.7)

Здесь a_i, b_i – неизвестные прогоночные коэффициенты. Как и метод Гаусса, метод прогонки состоит из двух этапов. На первом (прямом) этапе определяются прогоночные коэффициенты, на втором (обратном) вычисляется вектор решения.

Прямой этап. Сравнивая соотношение (2.7) при i =2: и следствие первого уравнения системы (2.6): , получим формулы для первых прогоночных коэффициентов: .

Подставляя (2.7) во второе уравнение (2.6), получим:

.

Или, после преобразования,

,

откуда

Сравнивая с (2.7), получим

.

Таким образом, можно найти все .

Обратный этап. Подставляя последнее прогоночное соотношение (2.7) в последнее уравнение (2.6), получим:

.

Затем, последовательно применяя (2.7), находим:

.

Таким образом, алгоритм метода прогонки можно представить в виде:

1. Находим ;

2. Для вычисляем

.

3. Находим .

4. Для находим: .

Теорема. Пусть коэффициенты , системы уравнений при отличны от нуля и пусть при . Тогда прогонка корректна и устойчива.

При выполнении этих условий знаменатели в алгоритме метода прогонки не обращаются в нуль и, кроме того, погрешность вычислений, внесенная на каком либо шаге расчетов, не будет возрастать при переходе к следующим шагам. Данное условие есть не что иное, как условие диагонального преобладания.