Гармонический осциллятор

ГЛАВА 32

Вопросы:

Гармонические колебания и их характеристики

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

И его решение

Пружинный, физический и математический маятники

Гармонический осциллятор

Колебаниями называются процессы, в той или иной степени повторяющиеся во времени.

К механическим колебаниям относятся колебания маятников, струн, частей машин и механизмов, зданий, мостов и других сооружений, качка корабля, волнение моря и т.п.

Система, совершающая колебания, называется колебательной системой.

Свободными (собственными) колебаниями называются колебания, которые происходят в отсутствие переменных внешних воздействий на колебательную систему и возникают вследствие какого-либо начального отклонения этой системы от состояния ее устойчивого равновесия.

Вынужденными колебаниями называют колебания, возникающие в какой-либо системе под влиянием переменного внешнего воздействия (например, колебания силы тока в электрической цепи, вызываемые переменной ЭДС; колебания маятника, вызываемые переменной внешней силой).

Колебания называют периодическими, если значения всех физических величин, характеризующих колебательную систему и изменяющихся при ее колебаниях, повторяются через равные промежутки времени. Наименьший промежуток времени , удовлетворяющий этому условию, называется периодом колебаний. За период колебаний система совершает одно полное колебание. Частотой периодических колебаний называется величина , равная числу полных колебаний, совершающихся за единицу времени. Циклической, или круговой, частотой периодических колебаний называется величина , равная числу полных колебаний, совершающихся за единиц времени.

При периодических колебаниях зависимость колеблющейся величины от времени удовлетворяет условию .

Периодические колебания величины называются гармоническими колебаниями, если физическая величина изменяется во времени по синусоидальному или косинусоидальному закону, то есть

или

, (32.1)

где – циклическая, или круговая, частота гармонических колебаний, – максимальное значение колеблющейся величины , называемое амплитудой колебаний, и постоянные величины. Значение в произвольный момент времени определяется значением фазы колебаний (соответственно ). Величины и представляют собой начальные фазы колебаний, то есть значение и в момент () начала отсчета времени , .

Если материальная точка совершает свободные прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат около положения равновесия, принятого за начало координат, то зависимость координаты точки от времени имеет вид

. (32.2)

Проекции скорости и ускорения точки на ось равны

,

, (32.3)

где – амплитуда скорости, – амплитуда ускорения.

Сила , действующая на материальную точку, равна и

, (32.4)

где – масса материальной точки. Следовательно, сила пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия и стремится вернуть точку в положение равновесия.

, (32.5)

где – орт оси . Здесь .

Такая зависимость силы от смещения характерна, например, для упругой силы

. (32.6)

Здесь – вектор перемещения упруго деформированного тела при его продольном растяжении или сжатии, – коэффициент упругости.

Поэтому силы иной физической природы, удовлетворяющие тому же виду зависимости, называются квазиупругими силами или возвращающими силами.

Материальная точка, колеблющаяся под действием квазиупругой (возвращающей) силы (32.6) называется линейным гармоническим осциллятором. Ее динамическое поведение описывается дифференциальным уравнением или

+ , (32.7)

(здесь ), общее решение которого – уравнение (32.2).

Рассмотрим несколько простейших систем с одной степенью свободы, совершающих свободные гармонические колебания.