Добротность колебательной системы

Затухающими механическими колебаниями называются колебания, амплитуда которых непрерывно уменьшается вследствие потерь механической энергии. В отсутствие сил трения движение под действием квазиупругой силы описывается дифференциальным уравнением (1.7).

Однако, во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления (диссипативные силы), действие которых приводит к уменьшению энергии системы.

Диссипация (от лат. dissipatio – рассеяние) энергии вызывается главным образом трением и возбуждением в окружающей среде упругих волн.

Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут затухать. В случае малых отклонений от положения равновесия и малых скоростей движение осциллятора определяется квазиупругой силой (1.5) и силой сопротивления Стокса (здесь – постоянная, называемая коэффициентом сопротивлении, знак «–» обусловлен тем, что сила и скорость имеют противоположные направления). В связи с этим дифференциальное уравнение движения (уравнение второго закона Ньютона) в проекции на ось будет иметь вид

или

. (33.1)

Применив обозначения

, , (33.2)

(см. (32.7)), перепишем уравнение (33.1) в виде:

(33.3)

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка описывает затухающие колебания системы.

Здесь коэффициент затухания,

собственная циклическая частота осциллятора.

В случае малого сопротивления, когда , решение дифференциального уравнения (33.3) будет содержать показательную функцию () и гармоническую функцию частоты :

, (33.4)

где – амплитуда затухающих колебаний, соответственно начальная амплитуда;

– циклическая частота этих колебаний;

– постоянные, которые зависят от начальных условий, т.е. от значений и в начальный момент времени ().

В том, что выражение (33.4) является решением дифференциального уравнения (33.3), можно убедиться путем подстановки его в это уравнение. На рис. 33.4 зависимость представлена штриховой линией,

– сплошной линией.

Затухающие колебания представляют собой, вообще говоря, непериодические колебания, так как в этом случае не повторяются максимальные

значения смещения, скорости и ускорения осциллятора. Однако если затухание мало, можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между, например, двумя последовательными максимумами (минимумами) колеблющейся физической величины.

Тогда период затухающих колебаний определяется выражением

, (33.5)

т.е. .

Величины и называют условным периодом и условной циклической частотой затухающих колебаний.

Логарифмическим декрементом затухания называется безразмерная величина , равная натуральному логарифму отношения значений амплитуд и двух последовательных колебаний, отличающихся на период :

(33.6)

Промежуток времени , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в раз, называется временем релаксации. Тогда

, . (33.7)

Определим число полных колебаний за время релаксации :

. (33.8)

С учетом соотношения (33.6) выражение для амплитуды затухающих колебаний можно записать в виде:

, (33.9)

где число полных колебаний за время .

Добротностью колебательной системы называется безразмерная физическая величина , равная произведению на отношение энергии колебаний системы в произвольный момент времени к убыли этой энергии за промежуток времени от до , т.е. за один условный период затухающих колебаний:

. (33.10)

Поскольку энергия пропорциональна квадрату амплитуды колебаний , то

. (33.11)

При малых значениях логарифмического декремента затухания , пользуясь разложением функции в ряд Тейлора и ограничиваясь первыми двумя слагаемыми разложения, получаем:

. (33.12)

При этом условный период затухающих колебаний практически равен периоду свободных незатухающих колебаний, т.е. , так что

. (33.13)

Согласно формуле (33.12), добротность характеризует степень затухания колебаний при наличии сопротивления, а значит, и диссипацию (потери) энергии осциллятора во времени.