Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Добротность колебательной системы
Затухающими механическими колебаниями называются колебания, амплитуда которых непрерывно уменьшается вследствие потерь механической энергии. В отсутствие сил трения движение под действием квазиупругой силы описывается дифференциальным уравнением (1.7). Однако, во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления (диссипативные силы), действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Диссипация (от лат. dissipatio – рассеяние) энергии вызывается главным образом трением и возбуждением в окружающей среде упругих волн. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут затухать. В случае малых отклонений от положения равновесия и малых скоростей движение осциллятора определяется квазиупругой силой (1.5) и силой сопротивления Стокса (здесь – постоянная, называемая коэффициентом сопротивлении, знак «–» обусловлен тем, что сила и скорость имеют противоположные направления). В связи с этим дифференциальное уравнение движения (уравнение второго закона Ньютона) в проекции на ось будет иметь вид или . (33.1) Применив обозначения , , (33.2) (см. (32.7)), перепишем уравнение (33.1) в виде: (33.3) Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка описывает затухающие колебания системы. Здесь коэффициент затухания, собственная циклическая частота осциллятора. В случае малого сопротивления, когда , решение дифференциального уравнения (33.3) будет содержать показательную функцию () и гармоническую функцию частоты : , (33.4) где – амплитуда затухающих колебаний, соответственно начальная амплитуда; – циклическая частота этих колебаний; – постоянные, которые зависят от начальных условий, т.е. от значений и в начальный момент времени ().
В том, что выражение (33.4) является решением дифференциального уравнения (33.3), можно убедиться путем подстановки его в это уравнение. На рис. 33.4 зависимость представлена штриховой линией, – сплошной линией. Затухающие колебания представляют собой, вообще говоря, непериодические колебания, так как в этом случае не повторяются максимальные значения смещения, скорости и ускорения осциллятора. Однако если затухание мало, можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между, например, двумя последовательными максимумами (минимумами) колеблющейся физической величины. Тогда период затухающих колебаний определяется выражением , (33.5) т.е. . Величины и называют условным периодом и условной циклической частотой затухающих колебаний. Логарифмическим декрементом затухания называется безразмерная величина , равная натуральному логарифму отношения значений амплитуд и двух последовательных колебаний, отличающихся на период : (33.6) Промежуток времени , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в раз, называется временем релаксации. Тогда , . (33.7) Определим число полных колебаний за время релаксации : . (33.8) С учетом соотношения (33.6) выражение для амплитуды затухающих колебаний можно записать в виде: , (33.9) где число полных колебаний за время . Добротностью колебательной системы называется безразмерная физическая величина , равная произведению на отношение энергии колебаний системы в произвольный момент времени к убыли этой энергии за промежуток времени от до , т.е. за один условный период затухающих колебаний: . (33.10) Поскольку энергия пропорциональна квадрату амплитуды колебаний , то . (33.11) При малых значениях логарифмического декремента затухания , пользуясь разложением функции в ряд Тейлора и ограничиваясь первыми двумя слагаемыми разложения, получаем: . (33.12) При этом условный период затухающих колебаний практически равен периоду свободных незатухающих колебаний, т.е. , так что . (33.13) Согласно формуле (33.12), добротность характеризует степень затухания колебаний при наличии сопротивления, а значит, и диссипацию (потери) энергии осциллятора во времени.
|