Пример 3. Физический маятник – твердое тело, имеющее возможность качаться под действием его силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси

Физический маятник – твердое тело, имеющее возможность качаться под действием его силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси , не проходящей через центр тяжести тела (рис. 32.3) и называемой осью качания маятника (а также под действием реакции опоры оси ). Центр тяжести маятника совпадает с его центром инерции . Точка пересечения оси качания маятника с вертикальной плоскостью, проходящей через центр тяжести маятника и перпендикулярной к оси качания, называется точкой подвеса маятника.

Поскольку мы имеем дело с вращательным движением тела, воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения относительно горизонтальной оси вращения (ось проходит через точку перпендикулярно к плоскости рис. 32.3):

,

где – момент инерции маятника относительно оси вращения.

В случае малых колебаний получим уравнение осциллятора для вращательного движения :

(32.11)

Решение этого уравнения имеет вид:

. (32.12)

Из полученного решения следует, что при малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает свободные гармоническое колебания (в отсутствие трения) с циклической частотой , периодом

(32.13)

и амплитудой колебания ( – максимальный угол поворота маятника вокруг оси вращения от положения равновесия).

Введем понятие приведенной длины физического маятника, определив ее как длину такого математического маятника, который совершает колебания с той же частотой, что и физический маятник. Приравняв частоты из уравнений (32.10) и (32.12), получаем:

.

Используя теорему Штейнера, определим приведенную длину и период для физического маятника:

, (32.14)

где – момент инерции физического маятника относительно оси, проходящей через центр маятника и параллельной оси его качания.

Точка , лежащая на прямой на расстоянии от точки подвеса маятника (рис. 32.3), называется центром качания физического маятника. Центр качания и точка подвеса обладают свойством взаимности: если маятник подвесить так, чтобы его ось качания проходила через точку , то точка будет совпадать с новым положением центра качания маятника, то есть приведенная длина и период колебаний маятника останутся прежними. Это свойство физического маятника демонстрируется с помощью, так называемого оборотного маятника, который служит, в частности, для определения ускорения свободного паления в данной точке поверхности Земли. Для этого нужно на опыте измерить период , приведенную длину и воспользоваться формулой (32.14) для периода колебаний . Тогда ускорение можно рассчитать по формуле

.

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания, равна:

.

или

.

Кинетическая энергия материальной точки периодически изменяется от 0 до , совершая гармонические колебания с циклической частотой и амплитудой около среднего значения, равного .

Потенциальная энергия материальной точки, гармонически колеблющейся под действием квазиупругой силы, равна:

,

или .

Потенциальная энергия материальной точки периодически изменяется от 0 до , совершая гармонические колебания с циклической частотой 2 ω ₀ и амплитудой около среднего значения, равного .

Колебания потенциальной и кинетической энергии совершаются со сдвигом по фазе на , так что полная механическая энергия материальной точки не изменяется при колебаниях:

.

Графики зависимости , , от времени для случая показаны на рис. 32.4.