Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Под сложением колебаний понимают нахождение закона результирующих колебаний системы в тех случаях, когда эта система участвует одновременно в нескольких колебательных процессах. Мы будем рассматривать два предельных случая: сложение колебаний одинакового направления и сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

При сложении двух гармонических колебаний одного направления используют метод векторных диаграмм, который состоит в следующем.

Гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с осью угол, равный начальной фазе колебания (рис. 35.1).

.

При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одной частоты воспользуемся этим методом. В этом случае смещение материальной точки будет равно сумме смещений и , которые имеют вид:

, (35.1)

Поскольку проекция суммы векторов равна сумме проекций, то проекция вектора равна сумме проекций и векторов и . Поэтому результирующее колебание будет совершаться с частотой и амплитудой , т.е. по закону

(35.2)

Амплитуду результирующего колебания определяем по теореме косинусов:

Так как , то амплитуда определяется соотношением:

(35.3)

Для начальной фазы получаем, как видно из рис. 35.2, выражение:

. (35.4)

В зависимости от разности фаз складываемых колебаний амплитуда результирующего колебания изменяется в пределах:

от при

до при ,

где любое целое неотрицательное число.

Если , то колебания синфазны (находятся в одной фазе), а если , то находятся в противофазе.

Если частоты складываемых колебаний неодинаковы (), векторы амплитуд и будут вращаться с разными угловыми скоростями. В этом случае результирующий вектор будет пульсировать по величине и вращаться с переменной угловой скоростью. Следовательно, результирующим движением будет не гармоническое колебание, а некоторый сложный колебательный процесс.

Если два складываемых одинаково направленных гармонических колебания мало отличаются по частоте, то результирующим движением является гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой. Такое колебание называется биениями. Пусть частота одного из колебаний , а частота второго – . По условию .

Амплитуды обоих колебаний будем полагать одинаковыми и равными , а начальные фазы – равными нулю. Тогда уравнения колебаний будут иметь вид:

, .

Складывая эти выражения, получим:

(35.5)

Величина , характеризующая размах колебаний при биениях, изменяется в пределах от нуля до с частотой , называемой циклической частотой биений.

Переменную величину условно называют амплитудой биений.

Период биений и частота биений соответственно равны:

, (35.6)

, (35.7)

где , и , периоды и частоты складываемых колебаний. Характер зависимости от времени при биениях показан на рис. 35.3.

При сложении нескольких гармонических колебаний с кратными частотами (, , и т.д.) получается достаточно сложное периодическое негармоническое колебание с периодом , который совпадает с периодом гармоники наименьшей частоты (наибольшего периода).

Справедливо и обратное утверждение. Любое сложное периодическое движение с периодом можно представить в виде суммы простых гармоник с частотами, кратными основной частоте . Оказывается, что разложение по гармоникам имеет вид:

. (35.8)

Эта формула представляет собой ряд Фурье, который положен в основу гармонического анализа периодических функций, в частности колебаний.

Совокупность частот , , и т.д. образует спектр частот исследуемого сложного колебания. В случае сложных периодических движений спектр частот дискретный. Непериодические колебания, как правило, имеют непрерывный (сплошной) спектр частот. Тогда ряд Фурье превращается в интеграл Фурье по частотам этого спектра.

Рассмотрим случай, когда материальная точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты, т.е.

(35.9)

Для получения траектории результирующего движения из уравнений (35.9) исключим время, для этого уравнения (35.9) перепишем в виде:

, , .

Тогда

. (35.10)

Определим форму траектории для некоторых частных случаев. Если , то оси эллипса совпадают с осями координат и , а размеры его полуосей равны амплитудам и :

. (35.11)

Если, кроме того, если , то траектория точки представляет собой окружность.

В тех случаях, когда , эллипс вырождается в отрезок прямой:

.

Знак плюс соответствует четным значениям , т.е. сложению синфазных колебаний, (рис. 35.5, а) знак минус – нечетным значениям , т.е.

сложению колебаний, происходящих в противофазе (рис. 35.5, б). В этих случаях точка совершает линейно поляризованные колебания. Она гармонически колеблется с частотой складываемых колебаний и амплитудой вдоль прямой линии, составляющей с осью угол .

Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектория результирующего движения имеет вид довольно сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу. Фигуры Лиссажу вписываются в прямоугольник, центр которого совпадает с началом координат и и расположены по обе стороны от них на расстояниях, соответственно равных и . Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа касаний соответствующей им фигуры Лиссажу со стороной прямоугольника, параллельной оси , и со стороной, параллельной оси . На рис. 35.6 показан вид фигур Лиссажу при трех различных значениях отношения частот : а) 2: 1; б) 3: 2; в) 4: 3 и разности начальных фаз .

ГЛАВА 36 Вопросы:

1. Волновые процессы. Механизм образования механических волн

в упругой среде.

2. Продольные и поперечные волны. Плоские, сферические,

цилиндрические волны.

3. Уравнение бегущей волны. Длина волны и волновое число.

Фазовая скорость распространения волн. Групповая скорость.

4. Принцип суперпозиции волн.

5. Волновое уравнение.

Физическое тело (среда) называется упругим, а его деформации, вызываемые внешними воздействиями, называются упругими деформациями, если они полностью исчезают после прекращения этих воздействий. Согласно закону Гука упругие деформации прямо пропорциональны внешним воздействиям, т.е. зависят от них линейно. При достаточно малых деформациях все тела практически считаются упругими.

Упругие свойства тел зависят от характера теплового движения молекул и сил их взаимодействия. Например, газообразное тело беспрепятственно изменяет свою форму в соответствии с формой занимаемого им сосуда – газ не обладает упругостью формы. В то же время газу присуща объёмная упругость, т.е. способность сопротивляться изменению его объёма. Упругость жидкостей также обусловлена силами межмолекулярного взаимодействия. Жидкости, подобно газам, обладают только объёмной упругостью.

Упругость твёрдого тела обусловлена силами взаимного притяжения и отталкивания частиц (ионов, атомов или молекул), образующих эти тела и совершающих беспорядочные тепловые колебания около узлов его кристаллической решётки. Силы взаимодействия частиц препятствуют деформациям кристаллической решётки, связанным с изменением, как объёма тела, так и его формы. Поэтому твёрдые тела помимо объёмной упругости обладают упругостью формы, которая появляется в их сопротивлении деформации сдвига.

Упругими, или механическими волнами называются механические возмущения (деформации), распространяющиеся в упругой среде. Тела, которые, воздействуя на среду, вызывают эти возмущения, называются источниками волн.

Распространение упругих волн в среде не связано с переносом вещества. Такая среда рассматривается как сплошная среда, непрерывно распределенная в пространстве и обладающая упругими свойствами. Под частицей такой среды, совершающей вынужденные колебания, понимают малый элемент её объёма, размеры которого, однако, во много раз больше межмолекулярных расстояний, так что в нем содержится большое число молекул.

В зависимости от направления колебаний частиц среды по отношению к направлению распространения волн, волны могут быть поперечными или продольными.

Упругая волна называется продольной, если частицы колеблются в направлении распространения волн. Продольные волны связаны с объёмной деформацией упругой среды и потому могут распространяться в любой среде – твёрдой, жидкой и газообразной. Примером таких волн являются звуковые волны в воздухе (рис36.1)

Упругая волна называется поперечной, если частицы среды колеблются, оставаясь в плоскостях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Поперечные волны связаны с деформацией сдвига упругой среды и, следовательно, могут образовываться и распространяться только в средах, обладающих упругостью формы, т.е. в твёрдых телах. Примером поперечных волн могут служить волны, распространяющиеся вдоль струн музыкальных инструментов. (Рис 36.2)

Волновой поверхностью называется геометрическое место точек, в которых фаза колебаний имеет одно и то же значение. Фронтом волны называется граница между возмущённой и не возмущённой областями среды. В зависимости от фронта волны могут быть плоскими, сферическими либо цилиндрическими.

Установим связь между смещением колеблющейся частицы среды (точки) от положения равновесия и временем, отсчитанным от момента начала колебания источника, который находиться на расстоянии х от «нашей» частицы.

В случае отсутствия диссипации энергии (т.е. отсутствия рассеяния и поглощения энергии средой) амплитуда и частота колебаний частицы будет такой же, как и у самого источника S, уравнение колебаний которого происходит по гармоническому закону:

(36.1)

Частица среды, находящаяся на расстоянии х от источника S (см. рис. 36.3), начнёт колебаться позже, чем источник, на время, необходимое, чтобы волна, распространяющаяся от источника со скоростью с, преодолела расстояние х до частицы, т.е.

(36.2)

С учётом того, что и , уравнению можно придать вид:

(36.3)

Здесь (36.3) – уравнение плоской волны, поскольку все частицы, до которых дошло возмущение, движутся в одном направлении, а волновая поверхность – плоскость.

Уравнение плоской гармонической монохроматической волны, распространяющейся в произвольном направлении , имеет вид:

(36.4)

А – амплитуда смещения;

ω – частота колебаний;

– волновой вектор, равный ( – единичный вектор, указывающий направление распространения волны); ;

λ – длинна волны (рис. 36.4, б), т.е. расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды;

– радиус-вектор, проведённый в рассматриваемую точку,

;

– фаза волны, где .

Здесь:

– углы, составленные волновым вектором с соответствующими осями координат.

– волновое число, показывающее, сколько длин волн укладывается на отрезке длиной .

Скорость колебаний частиц среды

Ускорение колеблющихся частиц среды

Следует подчеркнуть, что в волновом процессе частицы среды не перемещаются в направлении оси , они лишь колеблются около положения равновесия. Со скоростью волны распространяются лишь колебания, переносящие энергию от источника. Скорость распространения волны в уравнении (36.2) есть скорость перемещения фазы колебания, поэтому её и называют фазовой скоростью.

Действительно, если зафиксировать значение фазы в уравнении (36.4), положив

,

то после дифференцирования по времени t получим:

(36.5)

Фазовая скорость численно равна

(36.6)

Кроме фазовой скорости различают ещё групповую скорость. Её вводят, когда реальная волна не может быть представлена одним гармоническим уравнением, а является суммой целой группы синусоидальных волн. Эта скорость определяет скорость переноса энергии и всегда меньше скорости распространения света в вакууме.

Принцип суперпозиции (наложения) волн состоит в следующем. Волны в среде распространяются независимо друг от друга. Результирующее возмущение в какой либо точке среды при одновременном распространении в ней нескольких волн равно сумме возмущений, соответствующих каждой из этих волн порознь.

Связь между фазовой и групповой скоростью распространения волн определяется соотношением

, (36.7)

где – величина, характеризующая дисперсию среды. Если , то фазовая и групповая скорости совпадают и тогда говорят просто о скорости распространения волны.

В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волнами в каждой точке среды, обладают постоянной разностью фаз, волны называются когерентными. При наложении когерентных волн возникает явление интерференции, заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других точках ослабляют друг друга. При наложении двух встречных плоских волн с одинаковыми амплитудами возникает стоячая волна.

Уравнение стоячей волны, распространяющейся вдоль оси ОХ:

где – амплитуда стоячей волны. Точки, координаты которых удовлетворяют условию амплитуда колебаний максимальна. Эти точки называются пучностями стоячей волны. В точках, координаты которых удовлетворяют условию амплитуда равна нулю. Эти точки называются узлами стоячей волны.