![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Рассмотрим энергию переносимую упругой волной ⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 10
x распространяющейся вдоль оси OX. Для элементарного объема среды ∆ Кинетическая энергия объема ∆
где r – плотность среды, ∆ m = r ∆ v. Потенциальная энергия является энергией деформированного объема ∆ В качестве примера рассмотрим энергию упругой деформации стержня. При растяжении (сжатии) его относительное удлинение равно:
Однородные стержни ведут себя при растяжении или сжатии подобно пружине. Экспериментально установлено, что для стержней из данного материала относительное удлинение при упругой деформации пропорционально силе, приходящейся на единицу площади поперечного сечения стержня:
(a – коэффициент пропорциональности). Величина, равная отношению силы к величине поверхности, на которую действует сила, называется напряжением. Отношение
Для характеристики упругих свойств материалов пользуются величиной
из которого следует, что модуль Юнга равен такому нормальному напряжению (если сила направлена по нормали к поверхности), при котором относительное удлинение было бы равно единице (т.е. приращение длины ∆ l было бы равно первоначальной длине lo). Решив уравнение (37.4) относительно F и заменив ε через
где k – постоянный для данного стержня коэффициент. Соотношение (37.7) выражает закон Гука для стержня ( Как известно, работа, которую нужно совершить, чтобы вызвать удлинение x пружины, определяется соотношением:
Аналогично найдем выражение для работы, совершаемой при упругом растяжении или сжатии стержня. В соответствии с формулой (37.7) эта работа равна:
где ∆ Работа при упругой деформации равна потенциальной энергии упругого деформированного стержня:
При распространении продольной плоской волны в среде объем сечением S и длиной ∆ х, т.е. ∆
(символ частной производной Следует отметить, что относительная деформация
Там, где отклонения частиц от положения равновесия максимальны, деформация и напряжение равны нулю (рис. 37.1), в местах, где частицы проходят через положение равновесия (x = 0) деформация и напряжение достигают максимального значения, причем, положительные и отрицательные деформации (т.е. растяжения и сжатия) чередуются друг с другом. В соответствии с этим продольная волна состоит из чередующихся разрежений и сгущений среды. С учетом соотношений (37.10) и (37.11) деформированный объем среды ∆
Для фазовой скорости с продольных упругих волн имеется экспериментально проверенное соотношение:
где Е – модуль Юнга, r – плотность среды. С учетом формулы (37.14) соотношение (37.13) примет вид:
Выражение (37.2) и (37.15) в сумме дают полную энергию
Разделив эту энергию на объем ∆
Дифференцирование уравнения (37.1) один раз по t, другой раз по х дает Подставив эти выражения в формулу (37.17) и приняв во внимание, что k2c2 =w2 получим
Из (37.18) следует, что плотность энергии в каждый момент времени в разных точках пространства различна. В одной и той же точке плотность энергии изменяется со временем по закону квадрата синуса. Среднее значение квадрата синуса равно
Зависимости плотности энергии (37.18) и ее среднего значения (37.19) имеют место не только для незатухающей плоской волны, но и для других видов волн(плоской затухающей, сферической и т.д.). Итак, среда, в которой распространяется волна, обладает дополнительным запасом энергии. Эта энергия доставляется от источника колебаний в различные точки среды самой волной; следовательно волна переносит с собой энергию. Потоком энергии, переносимой волной через некоторую поверхность, называется количество энергии через эту поверхность в единицу времени. Поток энергии совпадает с размерностью мощности. Для характеристики течения энергии в разных точках пространства вводится векторная величина, называемая плотностью потока энергии. Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии. Если через площадку ∆ S^, перпендикулярную к направлению распространения волны, переносится за ∆ t энергия ∆ W, то плотность потока энергии
Через площадку ∆ S^ будет переноситься энергия, заключенная в объеме∆
Подставить это выражение в формулу (37.20), получим для плотности потока энергию
Введя вектор
Мы получили выражение для вектора плотности потока энергии. Этот вектор называется вектором Умова. Вектор (37.23), как и плотность энергии w, различен (см.(37.18)) в разных точках пространства, а в данной точке изменяется со временем по закону квадрата синуса. Его среднее значение равно:
(см. (37.19)). Выражение (37.24), так же как и (37.19) справедливо для волны любого вида (сферической, затухающей и т.д.). Интенсивностью волны I называется модуль среднего значения вектора Умова. Интенсивность волны численно равна энергии, переносимой волной за единицу времени сквозь единицу площади поверхности, нормальной к направлению распространения волны. Для плоской и сферической синусоидальных волн
![]()
Зная равен dV = c × dt × dS cos j. В нем содержится энергия dW = w dV = w с dt dS cos j (w – мгновенное значение плотности энергии в том месте, где расположена площадка dS). Приняв во внимание, что
Полный поток энергии через поверхность S равен сумме элементарных потоков (37.26):
т.е. поток энергии равен потоку вектора
ГЛАВА 38 Вопросы: 1. Звуковые волны. Характеристика звука интенсивность, частота акустические спектры. 2. Громкость, уровень громкости. Единица измерения громкости – бел. 3. Эффект Доплера для звуковых волн.
Упругие волны, распространяющиеся в любой среде, имеющие частоты от 16 до 20000 Гц, называются звуковыми волнами или просто звуком, а учение о звуках называется акустикой. Упругие волны с частотами меньшими 16 Гц, называют инфразвуком. Волны с частотами, превышающими 20000 Гц, называют ультразвуком. Всякий реальный звук является наложением гармонических колебаний с определённым набором частот, который называется акустическим спектром звука. Если в звуке присутствуют колебания всех частот в некотором спектральном интервале от Высота тонального звука определятся основной (наименьшей) частотой. Относительная интенсивность обертонов (т.е. колебаний с частотами Под интенсивностью звука понимают среднее по времени значение плотности потока энергии, которое несёт с собой звуковая волна (см. 37.25 главы 37)
где Для того чтобы вызвать звуковое ощущение, волна должна обладать некоторой минимальной интенсивностью, которая называется порогом слышимости. Порог слышимости несколько различен для разных лиц и сильно зависит от частоты звука, Наиболее чувствительно человеческое ухо к частотам от 1000 до 4000 Гц. В этой области частот порог слышимости составляет в среднем около
Громкость звука, оцениваемая субъективно, возрастает гораздо медленнее, чем интенсивность звуковых волн. При возрастании интенсивности в геометрической прогрессии громкость возрастает приблизительно в арифметической прогрессии, т.е. линейно. На этом основании уровень громкости L определяется как логарифм отношения интенсивности данного звука I к интенсивности I 0, принятой за исходную:
Исходная интенсивность I 0 принимается равной 10-12 Вт/м2, так что порог слышимости при частоте порядка 1000 Гц лежит на нулевом уровне (L = 0). Единица уровня громкости L, определяемого формулой (38.2), называется белом (Б). Однако обычно пользуются в 10 раз меньшими единицами – децибелами (дБ). Значение L в децибелах определяется формулой
Отношение двух интенсивностей I1 и I2 (например, при сравнении интенсивностей от двух источников излучения) также может быть выражено в децибелах:
Весь диапазон интенсивностей, при которых волна вызывает в человеческом ухе звуковое ощущение (от 10-12 до 10Вт/м2), соответствует значениям уровня громкости от 0 до 130дБ. Энергия, которую несут с собой звуковые волны, крайне мала. Произведём расчёт интенсивности звуковой волны, при уровне громкости L=60 дБ (речь средней громкости). Воспользуемся формулой (38.3) Расчёт интенсивности звуковой волны по формуле (38.1) даёт следующий результат. При громкости 60 дБ амплитуда А колебаний частиц составляет ~4∙ 10-7 м для самых длинных волн =16 Гц и ~3∙ 10 -10м для самых коротких ( Плотность воздуха
Расчёт по (38.1) даёт следующие результаты: для Уникальные свойства звуковых волн и в особенности ультразвука позволяют использовать его во многих областях науки и техники, в методах научных исследований и в способах воздействия на вещество. Перечислим лишь некоторые из областей применения ультразвука: ускорение различных технологических процессов, влияние на скорость протекания химических реакций, разрушение плёнок оксидов (пайка алюминия), удаление нагара и накипи в котлах, обезжиривание поверхностей деталей, обработка и резание твёрдых и хрупких материалов, влияние на качество отливок, стерилизация жидкостей и т.д. Остановимся на некоторых особенностях регистрации звуковых волн. Если источник, излучающий звуковые волны с частотой Сначала рассмотрим случай, когда источник звука приближается со скоростью За время, равное периоду колебаний
Если источник удаляется от приёмника со скоростью
Поскольку частота воспринимаемого приемником звука определяется соотношением
Здесь знак «плюс» соответствует удалению источника от приёмника, знак «минус» – приближению к нему.
В случае если приёмник приближается к неподвижному источнику со скоростью
При удалении приёмника в формуле (38.8) вместо знака плюс появится знак минус, и мы сможем записать:
Для обоих случаев (объединив соотношения (38.8) и (38.9)) получаем:
Если источник и приёмник перемещаются одновременно вдоль соединяющей их прямой, то, объединив уравнения (38.7) и (38.10) получим выражение для частоты
В самом общем случае, когда и приемник, и источник звуковых волн движутся относительно среды с произвольными скоростями, направления которых не совпадают с проходящей через источник и приёмник прямой (рис. 38.3. б), в формуле (38.11) вместо значений
При этом верхние знаки перед скоростями
|