Нерівність трикутника

Добре відомо, що для трьох довільних точок та виконується нерівність (нерівність буде строгою, якщо точка не лежать між двома іншими точками). Звідси отримуємо, що довжина ламаної не більша за відстань між її кінцями. Ці елементарні міркування часто є ключовими при доведенні нерівностей для відстаней.

Задача 5.1.1. Довести, що довжини медіан і та його периметр задовольняють нерівності

.

Доведення. Нехай у трикутнику ; , - медіани (рис. 20). Із маємо

.

Аналогічно отримуємо нерівності та . Додаючи одержані співвідношення, отримуємо праву частину нерівності, що доводиться. Із маємо

.

Таким же чином дістаємо нерівності , , додаючи які та попередню, отримуємо ліву частину співвідношення, що доводиться.

Згадуючи співвідношення, які виражають довжини медіан через сторони трикутника, зокрема , на основі доведеного твердження можна говорити, що нами реалізовано геометричне доведення алгебраїчної нерівності

,

де числа додатні і такі, що сума двох із них більша від третього.

Задача 5.1.2. У прямокутнику на сторонах , , та вибрано точки та (по одній на кожній стороні). Довести, що периметр одержаного чотирикутника не менший .

Доведення. Симетризуємо прямокутник відносно сторони , а потім – відносно прямої . При цьому утворяться нові прямокутники та (рис. 21). Очевидно, що периметр чотирикутника буде дорівнювати

=

і оскільки , то він не буде перевищувати довжини ламаної , яка в свою чергу не перевищує довжини відрізка .

Задача 5.1.3. Дано гострий кут і точку всередині нього. Знайти на сторонах кута такі точки та , щоб периметр трикутника був мінімальним.

Розв’язання. Нехай задана точка всередині кута . Симетризуючи її відносно сторін кута, отримаємо точки та . Проведемо пряму , яка перетне сторони кута у деяких точках та (рис. 22). Покажемо, що трикутник - шуканий.

Насамперед, зауваживши, що симетричні відносно прямої відрізки рівні, отримуємо та . Тому периметр

.

Для іншого положення точки на стороні кута (наприклад, для точки ) дістаємо

.

Аналогічно збільшується периметр трикутника при зміні положення точки на другій стороні кута. Таким чином, точки та - шукані.

Очевидно, що якщо заданий кут гострий, то пряма завжди перетне сторони кута, тому поставлена задача матиме єдиний розв’язок.