Метрических подстановок.

Случай 1. Интегралы вида приводятся к интегралам от рациональной относительно и функции с помощью тригонометрической подстановки (или ).

Пример 1. Найти интеграл .

Решение.

Используем подстановку

Тогда

;

.

Ответ:

Случай 2. Интегралы вида приводятся к интегралам от рациональной относительно и функции с помощью тригонометрической подстановки (или ).

Пример 2. Найти интеграл .

Решение.

,

.

Для возвращения к переменной х можно воспользоваться прямоугольным треугольником. Поскольку , треугольник будет выглядеть следующим образом:

Зная два катета, по теореме Пифагора находим гипотенузу. Тогда .

.

Ответ:

Случай 3. Интегралы вида приводятся к интегралам от рациональной относительно и функции с помощью тригонометрической подстановки (или ).

Пример 3. Найти интеграл .

Решение.

Пусть ;

Тогда .

Вернемся к переменной х:

.

Ответ: