Метод Остроградского.

Иногда при интегрировании правильной рациональной дроби используют метод, суть которого состоит в выделении рациональной части первообразной.

Если Q (x) имеет кратные корни, то

(v) , где – наибольший общий делитель многочлена Q (x) и его производной ; ; R (x) и Ф (х) – многочлены с неопределенными коэффициентами, степени которых соответственно на единицу меньше степеней и .

Неопределенные коэффициенты многочленов R (x) и Ф (х) вычисляются при помощи дифференцирования тождества (v).

Обычно метод Остроградского применяется, если многочлен Q (x) имеет несколько корней большой кратности.

Пример 4. Вычислить .

Решение.

Полагаем , (vv)

Поскольку ; ;

НОД .

.

Дифференцируя равенство (vv), получим

.

Приравниваем числители дробей, имеющих одинаковые знаменатели:

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства и решаем систему уравнений относительно неизвестных A, B, C, D:

С = 0, A = B = D =1

.

Ответ: