Интегрирование простейшей дроби IV типа.

Рассмотрим частный случай интеграла от простейшей дроби IV типа.

Для интеграла , n Î Z (целое положительное число) имеет место следующая рекуррентная формула:

. Эта формула позволяет после (n – 1) – кратного применения свести данный интеграл I к табличному интегралу (формула 9 таблицы интегралов).

Покажем в общем виде, как интегрируют простейшие дроби IV типа.

Требуется найти , < 0.

Выделим в числителе производную квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе.

Тогда

Полагая теперь ; , получим . Последний интеграл можно вычислить с помощью рекуррентной формулы.

Пример 1. Вычислить интеграл I = .

Решение.

Это интеграл от частного случая дроби IV типа. Применим рекуррентную формулу. Здесь n = 3.

I

К интегралу I снова применяем рекуррентную формулу.

Теперь n = 2. I I

.

Ответ:

Пример 2. Вычислить .

Решение.

Это интеграл от дроби IV типа.

Выделим в числителе производную квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе и разобьем дробь на две дроби.

.

Сделаем замену переменной , обозначим . Тогда

={Применяем рекуррентную формулу (n = 2):

}

.

Ответ:

Пример 3. Вычислить .

Решение.

Разложим знаменатель на множители: .

Каждый из этих множителей имеет комплексные корни (действительных корней не имеет).

Подынтегральную функцию раскладываем на простейшие дроби III и IV типов следующим образом:

Приведем получившиеся дроби Ш и IV типов к общему знаменателю:

Приравняем числители дробей с равными знаменателями:

.

Раскроем в правой части скобки и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х:

.

Найдём неопределённые коэффициенты:

, , , , , ,

,

.

В числителе каждой подынтегральной функции выделим производную соответствующего знаменателя и разобьем каждый интеграл на два интеграла.

.

Для двух оставшихся интегралов от дробей IV типа применяем рекуррентную формулу.

.

Окончательно получим

Ответ: