Модель рынка совершенной конкуренции

(Рассказывать в общем виде без цифр)

Построение и моделирование численной модели совершенной конкуренции покажем на основе базовой модели (5.4.6)-(5.4.10) и выполним в три этапа:

· построение численной модели совершенной конкуренции;

· решение векторной задачи, лежащей в основе модели;

· математический и графический анализ результатов решения численной модели совершенной конкуренции.

Построение численной модели совершенной конкуренции. Для совершенной конкуренции характерно то, что производственные параметры (затраты на производство продукции и стоимость продаж), как правило, у обоих производителей равны. Эти требования отразим в математической модели рынка.

Дано. Введем обозначения, уточняющие модель (5.4.6)-(5.4.10):

p ₁ = p ₂ = p ₃ =p ₄=50 - цены на продукт; a ₁ = a ₂ = a ₃ =a ₄ = 40 - затраты;

p₁=p₂=p₃=p₄ =(p ₁ -a ₁ )= 10 - прибыль от производства и продажи продукта;

b =3500, b =5000, l= 1, 2; b_q= 5000, q= 1, 2.

Связь спроса и предложения решена следующим образом.

Спрос определяется: а) максимальной суммой, которую могут выделить потребители для своей покупки: x +x =200, где x =x = b /p₁ = b /p₂ =100 единиц продукта, и ее стоимостью в p_q(x +x )= 10000;

б) минимальной суммой, которую необходима для наименьшего потребления продукта, в x +x = 140, где x =x = b /p₁=b /p₂ =70 единиц продукта, и ее стоимостью в p_q(x +x )= 7000.

Предложение вытекает из того, что каждая фирма может изготовить не более x =b_q/a_q =125, q =1, 2 единиц товара или с учетом стоимости p_qx =6250. Это, с одной стороны, несколько больше, чем минимальная потребность одного потребителя, но меньше минимальной суммы потребностей обоих потребителей, т.е. 3500 =b ≤ p_qx ≤ p_q(x +x )= 7000,

а с другой, сумма x + x =250 и ее стоимость p_q (x + x ) превышает максимальные потребности финансовых средств, которые могут выделить на покупку продукта от разных фирм оба потребителя.

Следовательно, в модели (5.4.6)-(5.4.10) с предлагаемыми числовыми параметрами, предложение превышает спрос, хотя модель может быть использована и при других взаимоотношениях спроса и предложения.

Построить оптимизационную модель рынка и рассчитать объемы спроса-предложения.

Построение модели рынка. Математическая модель рынка с двумя производителями и двумя потребителями (модель 2*2) введенными параметрами представим в виде векторной задачи линейного программирования:

opt F (X) = { max f ₁(X) = 10 x₁ + 10 x ₂, max f ₂(X) = 10 x ₃ + 10 x ₄, (5.4.11)

min f ₃(X) = 50 x₁ + 50 x ₃ , min f ₄(X) = 50 x₂+ 50 x ₄}, (5.4.12)

при ограничениях

3500 ≤ 50 x₁+ 50 x₃ ≤ 5000, 3500 ≤ 50 x₂+ 50 x₄ ≤ 5000, (5.4.13)

40 x₁+ 40 x ₂ ≤ 5000, 40 x ₃+ 40 x₄ ≤ 5000, (5.4.14)

x ₁, x ₂, x ₃, x ₄ ³ 0. (5.4.15)

Для решения векторной задачи (5.4.11)-(5.4.15) используются методы, основанные на нормализации критериев и принципе гарантированного результата, представленные во третьей части.

Моделирование поведения всех производителей и потребителей с учетом их целенаправленности выполним с помощью решения векторной задачи (5.4.11)-(5.4.15) в целом, т. е. с четырьмя критериями.

Решения векторной задачи (5.4.11)-(5.4.15) при равнозначных критерияхпредставим в виде последовательности шагов.

Шаг 1, 2. Решается задача (5.4.11)-(5.4.15) по каждому критерию отдельно.

Критерий 1. max: X = { x ₁ = 62.5, x ₂=62.5, x ₃=37.5, x ₄=37.5},

f ₁(X )=1250, f ₂(X )=750, f ₃(X )=5000, f ₄(X )=5000,

min: X ={ x ₁= 7.5, x ₂= 7.5, x ₃= 62.5, x ₄=62.5},

f ₁(X )=150, f ₂(X )=1250, f ₃(X )=3500, f ₄(X )=3500.

Критерий 2. max: X ={ x ₁=37.5, x ₂= 37.5, x ₃= 62.5, x ₄= 62.5},

f ₁(X )=750, f ₂(X )=1250, f ₃(X )=5000, f ₄(X )=5000,

min: X ={ x ₁= 62.5, x ₂=62.5, x ₃= 7.5, x ₄= 7.5},

f ₁(X )=1250, f ₂(X )=150, f ₃(X )=3500, f ₄(X )=3500.

Критерий 3. min: X ={ x ₁=35.0, x ₂=50.0, x ₃=35.0, x ₄= 50.0},

f ₁(X )=850, f ₂(X )=850, f ₃(X )=3500, f ₄(X )=5000,

max: X ={ x ₁=50.0, x ₂=50.0, x ₃=50.0, x ₄= 50.0}.

f ₁(X )=1000, f ₂(X )=1000, f₃(X )=5000, f ₄(X )=5000.

Критерий 4. min: X ={ x ₁=50.0, x ₂= 35.0, x ₃=50.0, x ₄= 35.0}.

f ₁(X )=850, f ₂(X )=850, f ₃(X )=5000, f ₄(X )=3500,

max: X ={ x ₁= 50.0, x ₂=50.0, x ₃= 50.0, x ₄= 50.0}.

f ₁(X )=1000, f ₂(X )=1000, f ₃(X )=5000, f ₄(X )=5000.

Экономическая сущность решения векторной задачи (5.4.11)-(5.4.15) на первом шаге состоит в том, что каждому участнику рынка предоставляются наиболее благоприятные условия, т. е. при расчете учитываются только их ограничения и определяются их оптимальные возможности. В результате решения получим оптимальные решения f = f_k (X ), k = - цели, к которым стремится каждый участник рынка, K =4.

Результат - оптимальные объемы продукции, которые в принципе может выпустить первый и второй производитель, и купить первый и второй потребитель.

Шаг 3. Выполняется стандартная нормализация критериев:

Анализ результатов решения, полученных по каждому критерию, выполним на основе нормализации:

l _k (X )=(f_k (X )- f )/(f - f ), q, k =1, 2, 3, 4.

l₁(X )=1.0, l₂(X )=0.545, l₃(X )=0.0, l₄(X )=0.0,

l₁(X )=0.545, l₂(X )=1.0, l₃(X )=0.0, l₄(X )=0.0,

l₁(X )=0.632, l₂(X )=0.632, l₃(X )=1.0, l₄(X )=0.0,

l₁(X )=0.632, l₂(X )=0.632, l₃(X )=0.0, l₄(X )=1.0.

Экономическая сущность решения векторной задачи (5.4.11)-(5.4.15) на втором шаге состоит в том, что цели каждого участника рынка по числовой величине выравниваются. В результате решения получаем нормализованные цели

l = l _k (X ) = 1 (100%), " k Î К,

к которым стремится каждый участник рынка.

Шаг 4. Построение и решение l-задачи:

l ^o = max l, (5.4.16)

при ограничениях

l - (p₁ x ₁+ p₂x₂ - f ₁(X ))/(f ₁(X )- f ₁(X )) £ 0, (5.4.17)

l - (p₃ x ₃ + p₄ x ₄ - f ₂(X ))/(f ₂(X ) -f ₂(X )) £ 0,

l - (p ₁ x ₁ + p ₃ x ₃- f ₃(X ))/(f ₃(X )- f ₃(X )) £ 0,

l - (p ₂ x ₂ + p ₄ x ₄ - f ₄(X ))/(f ₄(X ) -f ₄(X )) £ 0, (5.4.18)

3500 ≤ p ₁ x ₁ + p ₃ x ₃ ≤ 5000, 3500 ≤ p ₂ x ₂ + p ₄ x ₄ ≤ 5000, (5.4.19)

a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ ≤ 5000, a ₃ x ₃ + a ₄ x ₄ ≤ 5000, x ₁, x ₂, x ₃, x ₄ ³ 0. (5.4.20)

Экономическая сущность решения l-задачи (5.4.16)-(5.4.20) состоит в том, что l-задача устремляет критерии (относительные оценки) всех четырех участников рынка к своему оптимуму l = 1, k= .

Решение l-задачи (5.4.16)-(5.4.20).

Результат решения при равнозначных критериях:

l ^o = 0.60714. X^o ={ x ₁= 40.893, x ₂= 40.893, x ₃= 40.893, x ₄= 40.893}.

f ₁(X^o) = 163.572, f ₂(X^o) =163.572, f ₃(X^o) = 817.858, f ₄(X^o) = 817.858,

l₁(X^o)=0.60714, l₂(X^o)=0.60714, l₃(X^o)=0.60714, l₄(X^o) =0.60714.

Выполняются условия l ^o ≤ l _q (X^o), q= 1, 2, 3, 4, а в соответствии с теоремой 2 все критерии противоречивы. Любое улучшение (увеличение) одного из них приводит к ухудшению другого.

Конец

Математический и графический анализ модели совершенной конкуренции. Для оценки модели совершенной конкуренции введем некоторые преобразования: объем продукции, произведенной первым производителем, обозначим как X ₁= x ₁+ x ₂, а вторым как X ₂= x ₃+ x ₄. Отсюда ограничения (5.4.13)-(5.4.14) примут вид: 3500≤ 25 Х ₁+25 Х ₂≤ 5000, 3500≤ 25 Х ₁+ 25 Х ₂ ≤ 5000. 40 Х ₁≤ 5000, 40 Х ₂ ≤ 5000. Покажем их в системе Matlab на рис. 5.5.

Рис.5.5. Ограничения и точки оптимума в модели совершенной конкуренции

На рис. 5.5 представлены:

X1max, Х1min, X2max, Х2min – точки оптимума (наилучшее и наихудшее значение), полученные по первому и второму критерию соответственно;

Хо - точка оптимума, полученная при (четырех) равнозначных критериях, т. е. с учетом всех производителей и потребителей;

Xор 21, Xор 12 - точки оптимума, полученные при приоритете второго критерия над первым и первого над вторым соответственно;

Хоо - точка оптимума, полученная только при двух равнозначных критериях (т. е. с учетом только производителей);

Xоор 21, Xоор 12 - точки оптимума, полученные при приоритете второго критерия (производителя) над первым и первого над вторым соответственно.

Покажем эту область ограничений на трех мерном графике - рис. 5.6, где в качестве третьей координаты представим ось l - относительные оценки.

Рис. 5.6. Целевые функции в модели совершенной конкуренции на области ограничений

На этом рис. представим три функции (в относительных единицах), определяющие цели:

во-первых, индивидуальных производителей:

l₁(X) = , l₂(X) = ,

где f ₁(X)=10 Х ₁, f ₂(X)=10 Х ₂- текущее значение 1, 2-го критерия в допустимых точках, т. е. " X Î S; f =1250 - величина k-го критерия в точке оптимума X , k =1, 2; f =150 - наихудшая величина k-го критерия в точке X , k =1, 2;

во-вторых, потребителей:

l₃(X) = ,

где f ₃(X)=25 Х ₁+25 Х ₂ - текущее значение 3-го критерия в точках " X Î S; f =3500 - величина k -го критерия в точке оптимума X , k =3; f =5000 - наихудшая величина k -го критерия в точке X , k =3;

На рис. 5.6 область ограничений, как и на рис. 5.5, представлена точками X 1 _maxX 2 _minX 1 _minX 2 _max, образующих четырехугольник, который искусственно опущен до l= -3, (чтобы был виден). На нем также показаны точки X^o и X^{o o}.

Точка оптимума X^o отражает целенаправленность производителей и потребителей продукции (в виде соответствующих функций) в совокупности. Она является седловой, в ней:

· во-первых, критерии равнозначны l ^o =l₁(X^o)=l₂(X^o)= l₃(X^o)=l₄(X^o)= 0.607, т. е. в этой точке интересы (критерии) как производителей, так и потребителей учтены в равной мере;

· во-вторых, это равенство максимальное, т. е. не существует другой точки, в которой бы увеличение одного критерия не приводило бы к уменьшению другого, причем такая точка, только одна;

· в третьих, в терминах стоимостей финансовые затраты производителей и потребителей также равны между собой:

f _{å q} (X)= (p _q + a_ql) x_ql = f _{å l}(X)= p_qx_ql,

т. е. агрегированный спрос равен агрегированному предложению.

Точка X^oo учитывает целенаправленность только производителей продукции, деятельность которых в относительных единицах представлена кривыми l₁(X) и l₂(X). На рис. 5.5 эти кривые проходят через точки: X 2 _max - X_оор 21- X_оо-X_оор 12- X 1 _max, а на рис. 5.6 они представлены функциями (отрезками) l_{2 max} -l _o -l_{1 max}. Эти отрезки, как указывалось ранее, представляют собой модель Курно, Штакельберга, Бертрана и Эджуорта [3, 53] и отражают конкуренцию, которая возникает во взаимоотношениях только производителей (фирм).

Точка X^oo также является седловой, в ней:

критерии равнозначны l ^o =l₁(X^oo)=l₂(X^oo)= 0.7764, т. е. в этой точке интересы (критерии) производителей учтены в равной мере;

это равенство максимальное, т. е. не существует другой точки, в которой бы увеличение одного критерия не приводило бы к уменьшению другого, причем такая точка только одна;

В терминах стоимостей финансовые затраты производителей и потребителей также равны между собой, т. е. выполняется выше приведенное равенство, но оно учитывает интересы только потребителей.

В реальной жизни необходимо учитывать не только деятельность производителей, но и их взаимоотношение с потребителями, что и показано кривыми на рис. 5.6. Эти кривые проходят через точки X 2 _max - X_oр 21- X_о - X_oр 12- X 1 _max, (на рис. 5.6 промежуточные точки не показаны). Эти кривые отражают конкуренцию, которая возникает во взаимоотношениях не только производителей друг с другом, но и производителей и потребителей друг с другом. И это отражается в балансе интересов производителей и потребителей, в цифровом виде это отражено равенством относительных оценок (относительно своих оптимумов).

Здесь возникает социальный аспект взаимоотношений между производителями и потребителями по вопросу распределения прибыли. Разность между относительными оценками в точках оптимума X^oo и X^o:

Dl=l(X^oo)-l(X^o)=0.7764-0.607=0.167,

показывает объем прибыли, полученный производителями, за счет интересов (целей) потребителей.

В общем, то об этих недостатках моделей подобных Курно, говорилось и раннее, но не было математического аппарата, учитывающего влияние (целенаправленность) различных фирм. И только векторная оптимизация, в которой методы решения задач построены на принципе гарантированного результата и нормализации критериев, позволила решить эту проблему.