Признаки сходимости неотрицательных рядов (предельный приз; приз сравнения).

Числовые ряды. Св-ва сходящихся рядов. Необходимый приз сх-ти ряда

Пусть дана пос-ть чисел:

Опр: Числовым рядом наз-ся выражение

Гармонический ряд.

Обозначим S₁=a_1; S₂=a₁+a₂;

n ая сумма ряда

Опр: Ряд (1) наз-ся сходящимся если сущ-ет конечный ; .

Если конечного предела не сущ-ет, то ряд наз-ся расходящимся.

.Геомет-ий ряд. .

1) если , при

, ряд сходящихся.

2) если

ряд расходящихся.

3) если ряд а+а+а+…+а+…

4) если q=-а+а-а+а-а…

, если n – четное

, если n – нечетное

- не сущ-ет. Ряд рас-ся.

Св-ва сходящихся рядов:

1) если сх-ся к сумме S. То сх-ся к сумме .

2) если и сх-ся, то ряд сх-ся.

3) если сх-ся, то сх-ся ряд, полученный из исходного отбрасывания конечного числа слагаемых.

Необходимый признак сх-ти ряда.

Если ряд сх-ся, то

Д-во:

По усл. ряд сход-ся т.е. конечный

Следствие: , то ряд рас-ся.

Зам: рас-ся ряды, для кот

Признаки сходимости неотрицательных рядов (предельный приз; приз сравнения).

Теорема 1 (признак сравнения)

Даны два знакоположительных ряда и ,

Тогда: 1) если сх-ся, то сх-ся ряд 2) если рас-ся, то рас-ся ряд

Док-во: Обозначим - частичная сумма , - .Т.к.. , то

1) если сх-ся к сумме , то посл. ограничена, по лемме

ограничена по лемме сх-ся

2) рас-ся, тогда возрастает рас-ся.

Теорема 2 (предельный признак сравнения) Пусть для знакоположительных рядов , выполнено . Тогда ряды ведут себя одинаково