Диф ур-я с полным дифференционалом.

Опр: P(x, y)dx+Q(x, y)dy = 0, если , левая часть du(x, y)=0, интегрирования: u(x, y)=c – реш.

du , .

43. Диф ур-я высших порядков: общ вид, общ реш, част реш, нач усл.

Опр. Диф. ур-ия вида F(x, y, y^/, y^’’, …y(n))=0 где n≥ 2-диф-ое ур-е n-ого порядка.

Частный случай: y⁽ⁿ⁾=f(x, y, y^/, …y^(n-1)) – ур-ие n-ого порядка, разрешенное отн-но старшей производной.

Простейшее ур-ие такого типа: Y⁽ⁿ⁾=0 или d^ny/d_xⁿ=0

При каждом интегрировании появляется одна производная постоянная. В результате реш. содержит n производных постоянных. Для выделения конкретного одного реш. задается n условий:

y(x₀)|_x=x0=y₀

y^/(x₀)=y^(n-1)|_x=x0=y₁

y^(n-1)_(x0)=y^(n-1)|_x=x0=y_n-1

для ур-ия n≥ 2 кроме задачи Коши можно использовать краевые усл:

y(a)=y₁;

y(b)=y₂

Ур-ие 2-ого порядка, допускающие понижение порядка.

1.Ур-ие вида d²y/dx²=f(x, dy/dx), т.е. это ур-ие не содержит ф-ию y явно.

Замена: dy/dx=p; p=p(x); d²y/dx²=dp/dx→ dp/dx=f(x, p)-ур-ие первого порядка. Находим ф-ию p→ dy/dx=p; y=∫ pdx

2.Ур-ие вида:

d²y/dx²=f(y, dy/dx) не содержит в явном виде пер-ую Х.

замена: dy/dx=p; p=p(y)=p(y(x))

d²y/dx²=dp/dx=dp/dy*dy/dx=p*dp/dy;

p*dp/dy=f(y, p)→ находим p, а из dy/dx=p находим y.