Производная неявно заданной функции.

Теорема.: Пусть непрерывная ф-я y от x задается ур-ем F(x, y)=0, где F(x, y), F_x’(x, y), F_y’(x, y) – непрерывные ф-и в области D, F_y’(x, y)≠ 0. Тогда y’_x= .

Док-во: F(x, y)=0, F(x+∆ x, y+∆ y)=0

F(x+∆ x, y+∆ y)- F(x, y)=0 – это полное приращение к ф-и F(x, y).

, где γ ₁, γ ₂→ 0 при ∆ x, ∆ y→ 0

; ; ;

Рассмотрим случай трех переменных. Ур-е вида F(x, y, z)=0 задает ф-ю z =z(x, y) неявно.

Найдем частные производные z’_x, z’_y

z’_x= ; z’_y= ;

Производная по направлению.

Определить в данной точке P₀ скорость изменения ф-и в заданном направлении.

∆ x = ∆ l cosα

∆ y = ∆ l sinα

∆ u=f(x₀+∆ x, y₀+∆ y)-f(x, y)=

Делим на ∆ l: Опр.: Производной ф-и u=f(x, y) по направлению вектора наз-ся

; , где β – угол между и Оy;

Зам: 1) скорость изменения u по оси Ox;

скорость изменения u по оси Oy;

2) Если u = u(x, y, z), то

.