Радиус сходимости. Св-ва степенных рядов. Разложение ф-й в степенные ряды.

Опр: Пусть R действительное неотрицательное число: при ряд сх-ся, при ряд рас-ся. R – радиус сходимости степенного ряда. Если ряд сх-ся только в т.х=0, то R=0.

Опр: Совокупность всех x, при которых степенной ряд сх-ся наз-ся интервалом сходимости .

Опр: Областью сходимости наз-ся интервал , к которому в зависимости от конкретных случаев могут быть добавлены концевые точки -R или R.

Св-ва степенных рядов.

1) Пусть степенной ряд имеет интервал сходимости тогда он равномерно сх-ся на где .

2) Сумма степенного ряда явл-ся непрерывной ф-ей в каждой т. обл. сх-ти.

3) Степенной ряд можно дифференцировать в каждой т. интервала сходимости. Полученный ряд имеет тот же интервал сходимости.

4) Степенной ряд можно интегрировать где интегралу сх-и.

Разложение функций в степенные ряды:

1) Ф-я непосредственно раскладывается в ряд Тейлора.

2) Использование табличных разложений

.

.

3) Сложение, вычитание, умн. на ф-ю.

4) Использование дифференцирования и интегрирования рядов.

8. Периодические функции. Ортогональность тригонометрической системы.

Опр: Функция φ (t) наз-ся периодической с периодом Т≠ 0, если φ (t + T) = φ (t).

Опр: Система ненулевых ф-й φ ₁(x), φ ₂(x), … φ _n(x)…={φ (x)} наз-ся ортогональной на [a, b], если dx=0, n m.

Опр: Система {φ _n}={1, cosx, sinx, cos(2x), sin(2x), …, cos(nx), sin(nx), …} – наз-ся тригонометрической системой на .

Покажем ортог-ть этой триг-ой системы, т.е.

n m

n m

n, m

Док-во:

=

=0

2) n = m (др. рав-ва док-ся аналогично)