Определение и свойства двойного интеграла.

число эл-ов Di: i=1, n. Δ Si – площадь каждого эл-та.

Опр. Наибольшее расстояние между точками, лежащими на

Границt области – диаметр области.

Опр. Наибольший диаметр эл-ов разбиения – мелкость разбиения.

Опр. σ (f)= – интегральная сумма (Римана).

Опр. Пределы интегрирования сумм при мелкости разбиения, стрем. к нулю, наз-ся двойным интегралом от ф-и f по области D. ∫ ∫ f(x, y)dxdy.

Основные св-ва.

1. – площадь области D. Док-во: .

2.Линейность: для f, g и const λ, μ вып-ся: ∫ ∫ (λ f(x, y)+μ g(x, y))dxdy= λ ∫ ∫ f(x, y)dxdy+ μ ∫ ∫ g(x, y)dxdy.

Док-во: 3. Аддитивность. D=D₁ D₂. 4.Монотонность для ф-ий f, g. При f(x, y)≤ g(x, y) ∫ ∫ f(x, y)dxdy≤ ∫ ∫ g(x, y)dxdy.

5.Оценка модуля: для f(x, y) вып-ся

6.Св-во о среднем значении: для f вып-ся нер-во (M – max значение ф-ии, S – площадь обл.)