A. Бінарныя алгебрычныя аперацыі. Асацыятыўныя, камутатыўныя аперацыі; нейтральны элемент, сіметрычны элемент. Азначэнні, прыклады, ўласцівасці.

Азн1. Няхай Х-непустое мноства.Будзем казаць, што на мностве Х вызначана бінарная алгебрычная аперацыя, калі кожнай спарадкаванай пары (a, b) элементаў мноства Х пастаўлены ў адпаведнасць адназначна вызначаныэлемент з мноства Х.

Азн2. Будзем казаць, што элемент n Х зьяўляецца нейтральным у дачыненні да бінарнай алгебрычнай аперацыі , калі для кожнага а Х, а n= n а =а

Азн3. Бінарная алгебрычная аперацыя на мностве Х наз асацыятыўнай, калі для адвольнага a, b, c X

a (b c)=(a b) c

Азн4. Няхай на мностве Х вызначана бинарная алгебрычная аперацыя , якая мае нейтральны элемент n.Элемент а₁ Х наз сіметрычным да элементу а Х у дачыненні да аперацыі , калі

a а₁=а₁ а=n

Азн5. Бінарная алгебрычная аперацыя на мностве Х, наз камутатыўнай, калі для адвольных элементаў a, b X

a b=b a

2. A. Колца(19), поле. Азначэнні, прыклады, ўласцівасці. Два крытэры падколца(4). Два крытэры падполя.(2)

Азн.1: Непустое мноства R≠ Ø, на якім вызначаны бінарныя алгебраічныя аперацыі складання і множання, наз. колцам, калі выконваюцца наступныя аксіёмы:

4. - камутатыўнасць складання;

5. – дыстрыбутыўнасць;

6. – асацыятыўнасць множання.

Азн.2: Колца R наз. камутатыўным, калі

.

Азн.3: Колца R наз. колцам з адзінкаю, калі , .

Азн.4: – колца наз. падколцам колца R, калі К ёсць колца ў дачын. да аперацыяў, вызначаных ў R.

, адваротны да а.

Азн.6: наз. падполем поля , калі Р ёсць поле ў дачыненні да аперацыяў, вызначаных у .

Тэарэма 1 (першы крытэр падколца): з’яўл. падколцам колца R к.іт.к. выконваюцца наступныя ўмовы:

; .