Главная страница
Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Билет 10.
1.Теорема Грина для односвязной области. Пусть на плоскости Oxy задана односвязная область D, ограниченная кусочно-гладким контуром C. На множестве определены непрерывные функции и , имеющие непрерывные частные производные. Тогда , при этом контур С обходится так, что область D остаётся слева.
Док-во. 1. Пусть D - простая область. Докажем сначала, что . Опишем D неравенствами Тогда . Если контур включает вертикальные участки, такие как EF, то на этих участках dx = 0, поэтому , и , что и требовалось доказать.
Равенство доказывается точно также: . Суммируя равенства и , получим одну из важнейших формул анализа -формулу Грина
2. Пусть теперь D - произвольная, не обязательно простая, область. Разобьём её на простые части. Пусть это разбиение производится отрезком АВ, и пусть подобласти D 1 и D 2 - результат разбиения. Для этих подобластей формула Грина доказана:
и . По свойству аддитивности , . Суммируя эти выражения, убеждаемся, что криволинейные интегралы по отрезкам АВ и ВА взаимно уничтожаются, а сумма интегралов по кривым ВFA и AEB даёт интеграл по контуру С, т.е. формула Грина верна и для области, не являющейся простой. Доказательство остаётся справедливым и в случае, когда разбиение производится добавлением большего числа, чем одна, кривых.
2. Выпишите формулу для вычисления поверхностного интеграла 1 рода в декартовой системе координат. приведите пример.
Пример: вычилить поверхностный интеграл
G: x+y+z=1, первый октант
3. Теорема. Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая функция в окрестности точки разлагалась в ряд Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы .
Доказательство. Необходимость. Пусть в окрестности точки функция представлена в виде сходящегося к этой функции ряда Тейлора , где - частичная сумма ряда, - его остаток. Так как имеет требуемое количество производных, она может быть представлена и в виде формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: . Сравнивая эти представления, получаем . Из сходимости ряда к следует, что , что и требовалось доказать.
Достаточность. Если , то , т.е. остаток ряда стремится к нулю при , т.е. ряд сходится к функции .
4. Найдите поток векторного поля a=xi+4yj+(5z+1)k через плоскость x+2y+z/2=1, расположенную в первом октанте, нормаль образует острый угол с осью oz.
, ;
5. Найдите циркуляцию поля вдоль контура Г, ориентированного по вектору k, если Г- пересечение поверхностей
;
|