Т.е. для всех значений х, попадающих в дельта-окрестность точки х0, соответствующие значения функции попадают в Е-окрестность величины А.

Предел функции в точке.

Пусть дана функция f(х) с областью определения Х.

Определение 1. (по Коши). Число А называется пределом функции f(x) при х→ х₀, если для любого сколь угодно малого числа e> 0 можно указать такое число δ > 0 (зависящее от e, δ =δ (e)), что для всех хÎ Х таких, что 0< |x-x₀|< δ выполняется неравенство |f(х)-A|< e.

Т.е. e> 0 δ =δ (E) x: 0< |x-x₀|< δ |f(х)-A|< e (1)

, f(x)→ A, x→ x₀

Замечание. 1) Неравенство (1) не поверяется при х=х₀.

2) Принципиальны лишь малые e и d.

Пример. 1) f(x)= . Покажем, что

e> 0 δ =δ (E) x: 0< |x|< δ | |< e

| |=|2х|½ ½ £ |2х|=2½ х½ < e Þ d= , тогда

e> 0 δ = x: 0< |x|< δ | |< 2½ х½ < e

Геометрический смысл.

Неравенство |x-x₀|< δ равносильно неравенству х₀-δ < x< x₀+δ

Неравенство |f(х)-A|< E равносильно неравенству A-E< f(x)< A+E

Т.е. для всех значений х, попадающих в дельта-окрестность точки х0, соответствующие значения функции попадают в Е-окрестность величины А.

Получаем топологическое определение 2. Число А называется пределом функции f(x) при х→ х₀, если для любого сколь угодно малого числа Е> 0 найдется такое число δ > 0 (зависящее от Е, δ =δ (Е)), что для всех х, попадающих в дельта-окрестность точки х₀, соответствующие значения функции попадают в Е-окрестность величины А.

W(A) V(x₀): x V(x₀)\{x₀} f(х) W(A) (3)

		Предела функции в точке х0 не существует. Существуют односторонние пределы.

Принципиальное значение имеют малые окрестности.

Определение 3. (по Гейне). Число А называется пределом функции f(x) при х→ х₀ (в точке х₀), если для любой последовательности {x_n}, сходящейся к х₀ (x_n≠ x₀ n), последовательность {f(x_n)} соответствующих значений функции сходится к А.