Теорема 3 (о замене бесконечно малых при отыскании предела отношения).

Пусть функции α (х) и β (х) являются б.м. при х→ х₀, и α (х)~ (х), β (х) ~ (х) при х→ х₀. Тогда если существует конечный или бесконечный предел

,

То к этому же пределу стремится при х→ х₀ и отношение .

Доказательство. 1) Пусть =с, где с – конечное число. Тогда очевидно следующее равенство: =

По условию, каждый из сомножителей в правой части имеет конечный предел при х→ х₀. Тогда = =1× с× 1=с. Т.е. = .

2) Пусть =¥. Но тогда =0 (считаем, что (х)≠ 0 ).

По доказанному в пункте 1), =0Þ =¥.

Значит, и в этом случае = ч.т.д.

Замечание 1. Применение теоремы 3 требует знания б.м. функций (х) и (х) эквивалентных при х→ х₀ бесконечно малым функциям α (х) и β (х).

1) sin x~x при х→ 0 (т.к. =0),

2) tg x~x, при х→ 0 3) 1-cos x~ , при х→ 0

4) ln(1+x) ~x, при х→ 0 5) e^x-1~x, при х→ 0

6)a^x-1~xlna, при х→ 0 (a> 0, a≠ 0)

7) (1+x)^a-1~ax, при х→ 0

8) arcsin x~x, при х→ 0 9) arctg x~x, при х→ 0

Покажем, что ln(1+x) ~x, т.е. =1

= = =ln (т.к. функция ln x непрерывна)=ln e=1. Ч.т.д.

Замечание 2. Теорему 3 можно также применять в следующих случаях:

Если выражение под знаком предела содержит б/м величину в виде множителя, в виде отношения или в виде показателя степени, то ее можно заменить на эквивалентную ей б/м.

α (х)~β (х)