Второй замечательный предел.

=е (1) (неопределенность 1^±¥ )

Число е (число Эйлера) - иррационально.

1) Докажем, что если =+¥, то = е.

а) Рассмотрим случай, когда все значения переменной х_m являются целыми положительными числами. Возьмем e> 0 – любое, сколь угодно малое.

Было доказано, что = е. Значит, взятому e> 0 отвечает номер Nтакой, что для всех n> NÞ < e.

По условию =+¥, поэтому $МÎ N: " m> MÞ x_m> N. По предположению все значения переменной x_m – натуральные числа. Поэтому " m> MÞ < e.

А это означает, что = е. (В рассмотренном случае переменная x_m не обязательно монотонно возрастающая).

б) Пусть значения переменной x_m положительные числа, не обязательно целые, > 2.

Пусть a_m – наибольшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству a_m£ x_m. Тогда a_m³ 2 и a_m®+¥ при x_m®+¥. Имеем

a_m-1< x_m< a_m+1Þ > > Þ 1+ > 1+ > 1+

Тогда > > (*)

Имеем = =е× 1=е.

Тогда из (*) по теореме о пределе промежуточной последовательности, = е.

2) Покажем, что = е. Воспользуемся определением предела функции по Гейне.

Составим последовательность х₁, …, х_n - любую, но такую, чтобы x_n> 2 и x_n®+¥, n®¥.

Соответствующая последовательность значений функции будет такой:

= . Было показано, что =е.

Т.к. {x_n} – любая последовательность, удовлетворяющая условиям x_n> 2 и x_n®+¥, n®¥, то в соответствии с определением предела функции по Гейне, = е.

3) Покажем, что = е.

Составим последовательность х₁, х₂, …, х_n - любую, но такую, чтобы x_n< -3 и x_n®-¥, n®¥. Если положить x_n=-1-y_n, то y_n®+¥, n®¥ (и все y_n> 2). Имеем

= = = =

Т.к. =е, а =1, то = =е.

Т.к. {x_n} – любая последовательность, удовлетворяющая условиям x_n< -3 и x_n®-¥, n®¥, то в соответствии с определением предела функции по Гейне, = е.

Сделав в замену переменной х на . Получим функцию .

Составим последовательность {a_n} - любую, но такую, чтобы a_n> 0 и a_n®0, n®¥. Тогда x_n= ®+¥, n®¥ и, следовательно = =e

Это значит, что =e.

Составим последовательность {a_n} - любую, но такую, чтобы a_n< 0 и a_n®0, n®¥. Тогда x_n= ®-¥, n®¥ и, следовательно = =e

Это значит, что =e.

Т.к. правый и левый пределы функции в точке a=0 существуют и равны е, то у этой функции существует обычный (двусторонний) предел и он равен е.

Т.о. =е. ч.т.д.

График функции у=е^х – экспонента. Пример. =е²¹