Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Второй замечательный предел.
=е (1) (неопределенность 1±¥ ) Число е (число Эйлера) - иррационально. 1) Докажем, что если =+¥, то = е. а) Рассмотрим случай, когда все значения переменной хm являются целыми положительными числами. Возьмем e> 0 – любое, сколь угодно малое. Было доказано, что = е. Значит, взятому e> 0 отвечает номер Nтакой, что для всех n> NÞ < e. По условию =+¥, поэтому $МÎ N: " m> MÞ xm> N. По предположению все значения переменной xm – натуральные числа. Поэтому " m> MÞ < e. А это означает, что = е. (В рассмотренном случае переменная xm не обязательно монотонно возрастающая). б) Пусть значения переменной xm положительные числа, не обязательно целые, > 2. Пусть am – наибольшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству am£ xm. Тогда am³ 2 и am®+¥ при xm®+¥. Имеем am-1< xm< am+1Þ > > Þ 1+ > 1+ > 1+ Тогда > > (*) Имеем = =е× 1=е. Тогда из (*) по теореме о пределе промежуточной последовательности, = е. 2) Покажем, что = е. Воспользуемся определением предела функции по Гейне. Составим последовательность х1, …, хn - любую, но такую, чтобы xn> 2 и xn®+¥, n®¥. Соответствующая последовательность значений функции будет такой: = . Было показано, что =е. Т.к. {xn} – любая последовательность, удовлетворяющая условиям xn> 2 и xn®+¥, n®¥, то в соответствии с определением предела функции по Гейне, = е. 3) Покажем, что = е. Составим последовательность х1, х2, …, хn - любую, но такую, чтобы xn< -3 и xn®-¥, n®¥. Если положить xn=-1-yn, то yn®+¥, n®¥ (и все yn> 2). Имеем = = = = Т.к. =е, а =1, то = =е. Т.к. {xn} – любая последовательность, удовлетворяющая условиям xn< -3 и xn®-¥, n®¥, то в соответствии с определением предела функции по Гейне, = е. Сделав в замену переменной х на . Получим функцию . Составим последовательность {an} - любую, но такую, чтобы an> 0 и an®0, n®¥. Тогда xn= ®+¥, n®¥ и, следовательно = =e Это значит, что =e. Составим последовательность {an} - любую, но такую, чтобы an< 0 и an®0, n®¥. Тогда xn= ®-¥, n®¥ и, следовательно = =e Это значит, что =e. Т.к. правый и левый пределы функции в точке a=0 существуют и равны е, то у этой функции существует обычный (двусторонний) предел и он равен е. Т.о. =е. ч.т.д. График функции у=ех – экспонента. Пример. =е21
|