Многомерные случайные величины, дискретные и непрерывные; функции распределения и их свойства.

Основные определения

Мы всегда предполагаем, что имеется некоторый эксперимент, результат которого заранее неизвестен и непредсказуем. Известно множе­ство всех возможных результатов эксперимента, на котором задана вероятность . В этой схеме — элемент произвольной природы. Если же исходом эксперимента являются чисел (случайная точка в , то случайный исход называется n-мерной случайной величиной. Таким образом, и на задана вероятность , т.е. для дос­таточно произвольного , , задана — вероятность попадания случайной точки в .

Определение 1a. n чисел — случайный исход эксперимента, называется n -мерной случайной величиной.

n -мерная случайная величина может определяться и задаваться более общим способом. Пусть — множество исходов произвольной природы и на задана вероятность Р. Пусть на определены n функций с вещественными значениями:

Определение 1б. n вещественнозначных функций, определенных на вероятностном пространстве , называется n -мерной случайной величиной. При таком определении нас интересует вопрос, как опреде­ляются вероятности случайных событий (по­падание случайной n -мерной точки в А). Выделим в множество В:

состоящее из тех , для которых значения функций . Поскольку , для B задана вероятность . События и экви­валентны, и потому

Дискретные и непрерывные случайные величины

Будем рассматривать двумерные случайные величины основные положения оказываются справедливыми и для случайных величин произвольной размерности.

Определение 2. Случайная величина называется дискретной, если множество ее возможных значений конечно или cчетно. Такая случайная величина может быть задана перечислением точек на плоскости и соответствующими вероятностями .

Без ограничения общности можно считать, что множество значений — это узлы , i, j = 1, 2,... прямоугольной решетки, поскольку лю­бое конечное или счетное множество точек на плоскости можно допол­нить до прямоугольной решетки узлами с нулевыми вероятностями (рис. 5.1); — вероятности соответствующих точек. Можем опре­делить вероятность попадания в некоторую область A на плоскости (рис. 5.2):

Очевидно, сумма вероятностей всех точек равна 1:

По совокупности вероятностей можно найти закон распре­деления одной компоненты, например первой:

т.е. при фиксированном значении , суммируются вероятности всех точек из , у которых первая компонента равна . Аналогично для второй компоненты

Определение 3. Двумерная случайная величина называется не­прерывной, если в любой точке плоскости существует плотность вероятности , понимаемая как предел отношения вероятности попадания в прямоугольник с малыми сторонами к пло­щади прямоугольника:

Функция называется плотностью совместного распределения для Из (5.4) следует, что вероятность попадания в некоторую область А равна интегралу от по А:

Очевидно,

Плотность распределения одной компоненты определяется аналогично (5.3):

Пример 1. Случайная величина называется равномерно распределенной в области G, если

Значение константы c равно , где — площадь области G, определяемая из (5.6).

Пример 2. Случайная величина распределена нормально, если

Эта плотность имеет 5 параметров: . Линии уровня для плотности

являются эллипсами с центром в точке ; в этой точке имеет максимум. Если по (5.7) определить и , то увидим, что и подчиняются нормальному распределению, причем Параметр r — это коэффициент корреляции между и (см. пп. 7.3).

Функции распределения

Определение. Функцией распределения случайной величины называется функция , определенная на и равная в точке (х, у) вероятности события :

Обычно в индексе указывают случайную величину: