Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Свойства дисперсии. Примеры.⇐ ПредыдущаяСтр 11 из 11
1. Дисперсия константы c равна 0. 2. Прибавление константы не изменяет дисперсию. 3. Константа из-под знака дисперсии выносится с квадратом. 4. Для дисперсии суммы случайных величин используются формулы: а)Для независимых случайных величин дисперсия суммы равна сумме дисперсий. б)Для произвольных случайных величин , где и 5. Неравенство Чебышева: Это неравенство понимается так: вероятность большого отклонения случайной величины от своего математического ожидания мала, и она тем меньше, чем меньше дисперсия. Справедливость свойств (1-4) вытекает из определения дисперсии (1) и свойств математического ожидания. Действительно: 1) 2) 3) 4б)
4а) Если события независимы то по: 5)доказательство д.б. в другом билете.
Пример 1 использования свойств. Проведем п независимых испытаний случайного события А, вероятность появления которого в одном испытании Р(А) = р. Определим математическое ожидание и дисперсию количества успехов. Эту случайную величину можно представить суммой результатов п испытаний:
где Согласно 4a и свойству суммы мат. ожиданий:
Пример 2. В устройстве n блоков. При испытании блок с номером i выходит из строя с вероятностью рi. Определить среднее количество выходящих из строя блоков, а также дисперсию. Количество выходящих из строя блоков можно представить в виде суммы по блокам:
где 19.Числовые характеристики многомерных случайных величин. Пусть - многомерная случайная величина (вектор столбец). Математическое ожидание — характеристика среднего значения случайной величины. Определение. Математическим ожиданием , называется вектор математических ожиданий: (1) Каждая компонента этого вектора может быть выражена через интеграл: Где функция распределения случайной величины ; F(x1, …, xn)- функция распределения случайной величины Дисперсионная матрица — характеристика рассеяния Определение. Дисперсионной (ковариационной) матрицей называется матрица вторых центральных моментов: где называется ковариацией случайных величин и . Если - непрерывна и р(x1,.., хn) — плотность вероятности, bjk выражается очевидным образом через интеграл:
Дисперсионная матрица является симметричной: ВТ = В и неотрицательно определенной, т.е. для любых значений переменных t1, …, tn (1)
Это свойство доказывается рассмотрением случайной величины - линейной комбинации :
Вычислим дисперсию . Поскольку = О что совпадает с суммой в (1); но > 0, что и дает (1). Дисперсионную матрицу можно представить так:
|