Достоинства рассматриваемой методики оценки качества

“Вряд ли можно считать, что мозг в сравнении с современными вычислительными машинами не имеет определенных преимуществ. Главное из этих преимуществ, по-видимому, способность мозга оперировать с нечётко очерченными понятиями.

Норберт Винер.

Рассмотренная методика оценки качества имеет следующие достоинства:

- она воспроизводит мыслительные процессы человека, основанные на субъективных суждениях, и для разных лиц один и тот же объект исследования может иметь разные оценки качества;

- нечёткие модели наиболее адекватны не только исследуемому объекту, но и специфическим особенностям субъекта оценки (оценивающего лица);

- при нахождении комплексного показателя качества используется не просто аддитивный обобщенный показатель, а осуществляется свертка значений принадлежности к тем или иным термам лингвистических переменных, что обеспечивает корректность используемой нечёткой модели;

- методика на основе лингвистических переменных учитывает неопределенность без использования вероятностных распределений оценок показателей, что особенно подходит для случаев, когда соответствующие процессы не являются стохастическими, или когда их вероятностные оценки не могут быть получены из-за непрезентабельности или неоднородности соответствующих выборок.

6.11. Анализ чувствительности и стабильности нечётких систем принятия решений

Применение теории нечётких множеств к построению систем принятия решений привело к увеличению их эффективности. Однако остаётся нерешённой задача анализа чувствительности и стабильности нечётких систем к изменению (априорному заданию) их нечётких параметров или входных величин. Требуется уточнить определения самих понятий чувствительности и стабильности этих систем принятия решений. Предлагается решить указанную задачу на основе оценок показателей размытости нечёткой выходной величины системы и параметров системы, задаваемых нечёткими величинами.

В качестве показателя размытости нечёткого множества , , здесь рассматривается предложенный в [4] функционал, аналогичный шенноновской энтропии:

,

- для непрерывных систем и

,

- для дискретных нечётких множеств,

где – функция принадлежности нечёткого множества .

Выбор показателя размытости не оказывает влияния на общий подход к оценке чувствительности и стабильности нечётких систем, определения которых даются ниже.

Определение 1. Дифференциальная чувствительность нечёткой системы, выходной сигнал которой характеризуется семейством нечётких множеств , определённых на , к нечёткому заданию параметра системы или входной величины, характеризуемых семейством нечётких множеств , определённых на , является отношением относительного приращения показателя размытости выходного нечёткого множества к относительному приращению показателя размытости нечёткого параметра системы, вызвавшего выходные изменения:

, (6.46)

При оценке чувствительности системы к нечёткости зданий нескольких параметров системы , чувствительность , где .

Определение 2. Нечёткая система, выходной сигнал которой характеризуется семейством нечётких множеств , определённых на , обладает свойством -стабильности к изменению параметра системы или входной величины, характеризуемых семейством нечётких множеств , определённых на , если при изменении модуля относительного показателя размытости нечёткой величины в пределах модуль относительного показателя размытости выходного сигнала .

При оценке стабильности к изменению нечётких параметров системы или входных величин, для которых и , нечёткая система обладает свойством -стабильности, если .

Анализ чувствительности и стабильности нечётких систем легче проводить, если использовать ряд свойств показателя размытости, которые будут определены ниже.

Свойство 1. Показатель размытости любого нормального нечёткого множества прямо пропорционален разнице между его носителем и ядром ,

, (6.47)

и не изменяется при смещении ядра нечёткого множества относительно его носителя или носителя относительно ядра. Коэффициент пропорциональности зависит от вида функций, описывающих боковые ветви функции принадлежности нечёткого множества.

Доказательство следует из теоремы о среднем определённого интеграла и с учётом того, что . Покажем также, что показатель размытости, а следовательно, чувствительность и стабильность нечётких систем слабо зависят от вида боковых ветвей функции принадлежности нечётких параметров системы или входных величин. Действительно, задавшись тремя, наиболее часто используемыми видами боковых ветвей функции принадлежности:

1 – гауссовой ,

2 – линейной ,

3 – квадратичной (рис.6.23).

Рис. 6.23. Функции принадлежности с различными боковыми ветвями

Путём интегрирования по частям показателя размытости и дальнейшей замены переменных получаем следующие значения показателя размытости:

, (6.48)

, (6.49)

. (6.50)

Как видно из этих выражений, значения показателя размытости нечёткого множества слабо зависят от вида боковых ветвей функции принадлежности. Поэтому удобнее использовать трапециевидные функции принадлежности (боковые ветви описываются линейной функцией), при которых арифметические операции и определение нечётких отношений осуществляются с использованием ЦВМ наиболее просто.

Свойство 2. При смещении функции принадлежности нечёткого множества по оси показатель размытости не изменяется, т.е. если

,

то

Доказательство легко проводится путём замены переменных в подынтегральном выражении.

Свойство 3. При расширении функции принадлежности нормального нечёткого множества в раз его показатель размытости изменяется также в раз.

Действительно, при расширении в раз в это же число раз увеличится носитель и ядро нечёткого множества. В соответствии с выражением (6.47) показатель размытости расширенного нечёткого множества

. (6.51)

При расширении только ядра нечёткого множества в раз значение показателя размытости уменьшится на

. (6.52)

При расширении только носителя нечёткого множества в раз значение показателя размытости увеличится на

. (6.53)

Свойство 4. Если трапециевидную функцию принадлежности нормального нечёткого множества умножить на , то показатель размытости субнормального нечёткого множества A_k увеличиться в раз. Действительно,

При оценке чувствительности и стабильности нечётких систем могут потребоваться выражения для показателей размытости субнормальных нечётких множеств А ₁ и А ₂, а также нормального нечёткого множества А ₃, функции принадлежности которых показаны на рис.6. 24.

Рис.6.24. К определению показателя размытости субнормальных нечётких множеств

Показатель размытости субнормального множества легко получаем, используя свойства 1 и 4:

, (6.54)

где .

Для получения показателя размытости нормального множества продолжим боковую ветвь до пересечения с осью (точка ). Учитывая, что , если Ø, а также свойство 1 и выражение (6.54), получаем

.

Так как , то окончательно имеем

. (6.55)

Используя выражение (6.55) и свойство 4, получаем показатель размытости нечёткого множества А ₂

(6.56)

Используя полученные свойства и выражения для показателя размытости, определим в качестве примера чувствительность и стабильность нечёткой системы, описываемой нечётким отношением с функцией принадлежности .

Входное нечёткое множество задано в виде

.

Обе функции принадлежности принимают лишь положительные значения в интервале (рис.6.25).

В соответствии с принципом обобщения находим, что выходной сигнал системы имеет функцию принадлежности

. (6.57)

Рис. 6.25. К определению чувствительности и стабильности нечёткой системы

Показатель размытости входного сигнала B в соответствии с выражением (6.48) равен d_B = 0, 25× b, а относительное приращение

. (6.58)

Используя выражения (6.48) и (6.58), определяем показатель размытости выходной величины A: .

Тогда приращение и, следовательно,

. (6.59)

Окончательно получаем, что чувствительность системы к изменению входного сигнала

. (6.60)

Данная система обладает свойством -стабиль­ности к изменению входного сигнала, если выполняются условия

(6.61)

Система неравенств (6.61) позволяет определить требования к заданию входного сигнала , при которых нечёткая система обладает свойством -стабильности. Подставляя соответствующие и в выражение (6.60), получим оценку чувствительности системы к изменению входного сигнала в области ёё стабильности. Оценки чувствительности и стабильности нечётких систем позволят определить требования к проведению экспертного опроса при получении соответствующих функций принадлежности нечётких величин.

Поскольку результат арифметических операций над нечёткими числами есть нечёткое число, то возникает задача определения его показателя размытости по показателям размытости нечётких чисел, над которыми осуществляются эти операции. Для этого можно использовать теоремы, которые будут доказаны ниже.

Теорема 1. Показатель размытости d_А суммы нечётких чисел А_į , į = 1... n, равен сумме показателей размытости d_i слагаемых:

(6.62)

Доказательство. Используем метод математической индукции. Пусть , где каждое нечёткое число А_i определяется четвёркой чисел (a_i; b_i; c_i; d_i); n_i = d_i – a_i – носитель нечёткого числа, а r_i = c_i – b_i – его ядро.

В соответствии с принципом обобщения Заде функция принадлежности суммарного числа определяется четвёркой чисел (a _ı + a ₂; b _ı + b ₂; c _ı + c ₂; d _ı + d ₂). Используя (6.47), получаем:

(6.63)

Предположим, что для m слагаемых

(6.64)

Тогда для m + 1 слагаемого в соответствии с (6.63) имеем:

,

что и требовалось доказать.

Теорема 2. Показатель размытости разности нечётких чисел (А = А ₁ – А ₂) равен сумме показателей размытости этих чисел:

. (6.65)

Доказательство. В соответствии с принципом обобщения Заде функция принадлежности числа А определяется четвёркой чисел (a _ı – d ₂; b _ı – c ₂; c _ı – b ₂; d _ı – a ₂). Используя (6.47), получаем:

(6.66)

что и требовалось доказать.

Перед формулировкой и доказательством третьей теоремы введём следующее определение.

Определение 1. Взвешенным показателем размытости нечёткого числа А называется число, вычисляемое по формуле:

, (6.67)

где k ₁ и k ₂ – весовые коэффициенты, с которыми берутся носитель n нечёткого числа А и его ядро r соответственно.

Теорема 3. Показатель размытости произведения нечётких чисел А ₁ и А ₂ равен сумме взвешенных показателей размытости этих чисел:

, (6.68)

причём, весовые коэффициенты для одного показателя размытости равны максимальным (минимальным) значениям носителя и ядра второго сомножителя соответственно:

а для второго показателя размытости весовые коэффициенты равны минимальным (максимальным) значениям носителя и ядра первого сомножителя соответственно:

Доказательство. В соответствии с принципом обобщения Заде функция принадлежности числа А определяется четвёркой чисел (a _ı a ₂; b _ı b ₂; c _ı c ₂; d _ı d ₂). Используя (6.47), получаем:

Так как произведение нечётких чисел обладает свойством коммутативности (АВ = ВА), то

,

где

Методом математической индукции доказывается также, что для случая

. (6.69)

Теорема 4. При умножении нечёткого числа А на чёткое число α, показатель размытости увеличивается в α раз.

Доказательство. Нечёткое число α А определяется четверкой чисел (α a; α b; α c; α d). Тогда

(6.70)

Теорема доказана.

Деление нечёткого числа А на чёткое число α является умножением на число и, следовательно, показатель размытости при делении уменьшается в α раз.

Теорема 5. Показатель размытости частного от деления нечётких чисел А ₁ и А ₂ равен сумме взвешенных показателей размытости этих чисел:

, (6.71)

где k ₁₁ = 1∕ a ₂; k ₁₂ = 1∕ b ₂; k ₂₁ = a _ı ∕ a ₂ d ₂; k ₂₂ = b _ı ∕ b ₂ c _2,

или k ₁₁ = 1∕ d ₂; k ₁₂ = 1∕ c ₂; k ₂₁ = d ₁ ∕ a ₂ d ₂; k ₂₂ = c ₁ ∕ b ₂ c ₂.

Доказательство. В соответствии с принципом обобщения Заде функция принадлежности числа А определяется четвёркой чисел (a _ı ∕ d ₂; b _ı ∕ c ₂; c _ı ∕ b ₂; d _ı ∕ a ₂). Используя (6.47), получаем:

Или

Использование доказанных теорем упрощает анализ чувствительности и стабильности нечётких систем принятия решений, поскольку легко увидеть на каких этапах и почему существенно увеличивается или уменьшается результирующий показатель размытости, не производя соответствующих операций над нечёткими величинами.