Особенность стохастического интеграла в форме Ито

Пусть x(t)= w (t), где w (t) – винеровский процесс такой, что w (0)=0, M { w (t)}=0, D { w (t)}= t.

Рассмотрим стохастический интеграл

.

По классической формуле интегрирования получим

.

С другой стороны, по определению стохастического интеграла, он равен пределу интегральной суммы. Найдём значение этого предела.

Пусть

.

Рассмотрим

.

Откуда для S_n получим равенство

.

В силу определения стохастического интеграла в форме Ито и леммы о винеровском процессе из предыдущей главы можно записать

.

Сравнивая это выражение с выражением, полученным применением классических методов интегрирования, видим, что они отличаются на величину T/ 2 за счёт недифференцируемости реализаций винеровского процесса.

При решении прикладных задач обычно рассматривают процессы с гладкими траекториями. Поэтому желательно дать такое определения стохастического интеграла, свойства которого совпадали бы со свойствами классических интегралов Римана. Таким определением является определение интеграла в форме Стратановича.