Метод расчета конструкций по допускаемым напряжениям. Критерии прочности и разрушения материалов.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

При применении этого метода величина максимальных рабочих напряжений в опасном сечении бруса (или в наиболее нагруженных элементах конструкции) ограничивается так называемыми допускаемыми напряжениями Рассматриваемый метод расчета основан на сравнении опасных нагрузок с фактическими нагрузками, действующими на сооружение.

Следовательно, нам необходимо знать величину этих опасных нагрузок, которые будут характеризоваться предельным состоянием материала – состоянием, при котором происходит разрушение или наблюдаются пластические деформации.

Критерии наступления предельного состояния устанавливаются экспериментально при испытаниях образцов:

для пластичных материалов опасным является предел текучести;

для хрупких материалов – предел прочности.

Для обеспечения надежности и долговечности эти опасные напряжения снижают до некоторой величины, т.е. их величина ограничивается так называемыми допускаемыми напряжениями.

Величина допускаемых напряжений устанавливается для каждого материала на основе опыта, путем расчета.

Обозначают напряжение его символом:

Допускаемое напряжение для пластичных материалов

(например, углеродистая сталь):

Допускаемое напряжение для хрупких материалов

(например, чугун):

Критерии прочности и разрушения материалов.

Критерии прочности конструкций и их отдельных элементов

основаны на особенностях сопротивления материалов действующим нагрузкам и условиях перехода материала к предельному состоянию.

Критерии прочности являются основой при разработке так называемых теорий прочности.

Критерии не учитывают наличие в материале дефектов

Критерии прочности конструкций и их отдельных элементов основаны на особенностях сопротивления материалов действующим нагрузкам и условиях перехода материала к предельному состоянию.

Критерии прочности являются основой при разработке так называемых теорий прочности.

Критерии не учитывают наличие в материале дефектов.

Центральное растяжение сжатие. Определение нормальных напряжений в поперечном сечении. Продольные и поперечные деформации стержня. Закон Гука, упругие постоянные материала. Условие прочности.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Растяжением или сжатием называют вид нагружения бруса, в поперечном сечении которого возникает только продольная сила N.

Иногда говорят – центральное (простое или осевое) растяжение.

В реальных конструкциях кроме продольной силы в сечениях бруса действуют и другие силовые факторы.

Растяжение (сжатие) встречается:

– в различных элементах строительных конструкций (мачты, колонны, опоры, трубы, стержни ферм);

– в элементах механизмов и машин (шток поршня, трос) и т.д.

Рассмотрим стержень постоянного поперечного сечения А, к концам которого вдоль его оси приложены равные и противоположно направленные силы F.

В произвольном сечении возникает продольная сила

N = F.

Покажем произвольное поперечное сечение стержня. В этом сечении выделим элементарную площадку dA.

Продольная сила в сечении площадью А определяется интегралом

Анализ показывает, что на достаточном удалении от мест приложения внешней силы (гипотеза Сен-Венана) сечения после нагружения остаются плоскими, а только перемещаются параллельно самим себе (гипотеза Бернулли – плоских сечений).

Следовательно, по всему сечению действуют нормальные напряжения одинаковой величины: σ =const.

Нормальная сила равна

откуда

Продольные и поперечные деформации

Под действием продольной силы стержень изменяет свою длину – деформируется (удлиняется или укорачивается).

Абсолютная линейная деформация Δ ℓ – приращение длины стержня.

Рассмотрим участок стержня элементарной длины dz.

Видим, что после приложения нагрузки – продольной силы

данный участок получит абсолютную линейную деформацию Δ dz.

Знаем, что относительная продольная деформация определяется отношением

С учетом принципа Сен-Венана и выводов о том, что нормальные напряжения при растяжении-сжатии постоянны следует постоянство продольной деформации по высоте и ширине сечения ε = const – справедлива гипотеза плоских сечений.

Суммируя абсолютные удлинения малых элементов Δ dz = ε dz по всей длине стержня, получим:

		[м, см, мм]

М, см, мм

Суммируя абсолютные удлинения малых элементов Δ dz = ε dz по всей длине стержня, получим:

Относительная продольная деформация

стержня при простом растяжении: измеряется в %

Легко видеть, что и в направлении осей X и Y поперечное сечение стержня также деформируется – поперечные размеры сечения уменьшаются при его растяжении и увеличиваются при сжатии.

Это есть поперечная деформация:

абсолютная: Δ h, Δ b;

относительная:

Они записаны со знаком минус, т.к. продольная и поперечная деформации имеют обратные знаки.

Отметим, что для изотропных материалов

Упругие постоянные материала

Опытами установлено, что отношение относительной поперечной к относительной продольной деформации для каждого материала есть величина постоянная.

Это отношение, взятое по абсолютной величине называется коэффициентом поперечной деформации

(коэффициентом Пуассона):

Коэффициент Пуассона µ (мю) – всегда положительная и безразмерная величина. В теории упругости обозначают ν (ню).

Определяется опытным путем для каждого материала и условий испытаний и не может быть больше 0, 5.

Эту величину впервые теоретически получил француз Пуассон: он считал, что для всех материалов – 0, 25.

В упругой стадии работы для большинства конструкционных материалов напряжения и деформации (например, при растяжении) связаны прямой пропорциональной зависимостью (участок ОА диаграммы):

Коэффициент пропорциональности

Е – модуль продольной упругости

(модуль упругости при растяжении или модуль упругости I рода или модуль Юнга).

Из диаграммы и формулы следует, что модуль Е определяется углом наклона α прямой на участке ОА

Модуль упругости I рода есть упругая постоянная материала и характеризует способность материала сопротивляться упругим деформациям растяжения или сжатия.

Определяется опытным путем – испытанием образца, изготовленного из исследуемого материала.

Имеет размерность напряжений (Па).

Закон Гука

Установлен опытным путем:

при растяжении стержня силой F он получит абсолютную деформацию Δ ℓ.

При пропорциональном увеличении силы в такой же пропорции увеличится и деформация.

Закон Гука описывается формулой, справедливой в пределах упругих деформаций материала:

Нормальные напряжения прямо пропорциональны относительным линейным деформациям.

Известно, что а После подстановки в формулу закона Гука

Данная формула – еще одна форма записи закона Гука.

Абсолютное удлинение или укорочение стержня Δ ℓ прямо пропорционально нормальной силе N и первоначальной длине стержня ℓ и обратно пропорционально площади поперечного сечения A и модулю продольной упругости E.

Расчет на прочность

Применим метод расчета по допускаемым напряжениям.

Исходя из него, условие прочности может быть записано (соответственно для нормальных или касательных напряжений) в виде:

Для проведения расчета необходимо:

– определить вид нагружения (путем построения эпюр внутренних силовых факторов);

– на основании анализа эпюр определить опасное сечение бруса (сечение, в котором приложен экстремальный по величине внутренний силовой фактор);

– для выявленного вида нагружения и для его опасного сечения записать условие прочности (в одних случаях – по нормальным напряжениям, в других – по касательным, а при сложных видах нагружения условие прочности имеет более сложный вид).

Условие прочности при растяжении-сжатии записывается в виде:

– для бруса постоянного сечения (F=const):

– для бруса ступенчатого сечения

(размеры или форма сечения изменяются):

– для бруса материал которого неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию

(материал имеет разные значения допускаемых напряжение при растяжении и сжатии):