Лекция. Нормаланған кеңістіктер және оның мысалдары

Норма ұ ғ ымы бұ л аналитикалық геометрия курсында ү йренген векторлардың ұ зындығ ы ұ ғ ымының жалпыламасы. Мұ нда кез келген объектілерден тұ ратын, сызық тық кең істік элементтері ү шін норма ұ ғ ымы енгізіледі. Енді осы анық таманы берейік:

1-анық тама: Егер Х сызық тық кең істіктің кез-келген х Х элементі ү шіноның нормасы депаталатын || x ||функция анық талғ ан болып:

1) || x || ³ 0 - норма теріс болмағ ан сан, егер де ||x||=0 болса Þ х= q, керісінше х= q - нө лдік элементтің нормасы ||x|=0;

2) ||ax|| =| a | ||x||, aÎ R;

3) " х, y Х элементтері ү шін ||x+y||£ ||x||+||y|| (ү шбұ рыш тең сіздігі);

аксиомалары орындалса, Х ті нормаланғ ан кең істік деп атайды.

Егер Х сызық тық кең істігінде норма анық талғ ан болса, ол метрикалық кең істікте болады. Мұ нда нормаланғ ан кең істікке тиісті кез келген х, y элементтерінің ара-қ ашық тығ ы мына формуламен анық талады

,

яғ ни кез келген х, у Х ү шін бұ л функция метрика болады.

Шынында метриканың аксиомалары орынды болатынын тексерейік.

1) " x, y Х ү шін z= x-y деп белгілейік. Онда, норманың бірінші аксиомасы бойынша

||z||=||x-y|| ³ 0, егер ||z||=||x-y||=0 болса Û z=0, яғ ни x= y

Олай болса белгілеу бойынша

r(x, y) ³ 0, егер r(x, y) =0 болса Û x= y

Демек, метриканың бірінші аксиомасы орындалады.

2). " x, y Х ү шін ||x-y||=||(-1)y+x||=||(-1)y- (-1)x||= |-1| || y- x||= ||y- x|| Þ.

r(x, y)= ||x-y||=||y-x||= r(y, x). Екінші аксиома да орындалды.

3). " x, y, z Х ү шін ||x-y||=||x-z+z-y||=||(x-z)+ (z-y)||£ || x-z||+ ||z-y|| Þ.

||x-y||= r(x, y) £ || x-z||+ ||z-y|| = r(x, z)+ r(z, y).

Метриканың ү шінші аксиомасы да орындалды.

Сонымен, кез келген нормаланғ ан кең істік метрикалық кең істік

болады.