Мысалдар.

1-мысал: R кең істігінде ||x||=| arctgx | функциясы норма бола ма?

Шешуі: Норманың аксиомаларын тексерейік.

1) ||x||=|arctgx|³ 0, егер ||x||=0 болса arctgx=0, tg0=x x=0; Керісінше, x=0 ү шін arctgх=0 болады.Бұ дан ||x||= arctgx=0 x=0 екені шығ ады.

2)Екінші аксиоманы тексерейік. Шарт бойынша кез-келген aÎ R саны ү шін ||ax||=|arctgax|=|ax|| болуы керек. Бұ л шарттың орындалмайтынын кө рсету қ иын емес. Мысалығ а , сандарын таң дап алсақ, онда

|| a x||=|arctg a x|=|arctg |=

Бірақ, |ax||= Þ || a x|| ¹ |ax||

Екінші аксиома орындалмайды. Олай болса, ||x||=| arctgx | функциясы R кең істігінде норма бола алмайды екен.

2-мысал: X=C[a, b]- кең істігіне ([a, b] кесіндісінде анық талғ ан

ү зіліссіз функциялар жиыны) тиісті функциялар ү шін анық талғ ан мына екі ө рнек норма бола ма?

1⁰. , мұ ндағ ы a < a+1 < b-1 < b;

2⁰. ;

Шешуі: Бұ л сұ рақ қ а жауап беру ү шін норманың ү ш аксиомасын зерттеу қ ажет.

1⁰. Мұ нда интеграл астындағ ы функция абсолют шамасымен қ атысады, онда кез келген ү зіліссіз x(t) функциясы ү шін ||x||₁³ 0 болады.

Егерде болса x(t)=0 бола ма?

Бұ л шарттың орынды болмайтынын кө рсету қ иын емес. Шынында x(t) функциясын мына тү рде

таң дап алсақ, онда x(t)Î C[a, b], ||x||₁=0 болады. Бірақ, x(t)¹ 0. Олай болса, норманың бірінші шарты, яғ ни ||x||₁=0 Þ x(t)=0 орындалмайды.

Онда, C[a, b] кең істігінде функциясы норма емес.

2⁰. Мұ нда да интеграл астындағ ы функция модулмен

берілгендіктен, кез келген ү зіліссіз x(t) функциясы ү шін ||x||₂³ 0 болады.

Егер болса, онда x(t)=0 бола ма?

Мұ нда интеграл астындағ ы функция оң таң балы жә не ү зіліссіз болғ андық тан | x(t) | =0 болады. Бұ дан x(t)=0 екені шығ ады жә не x(t)=0 функциясы ү шін ||x||₂=0 екені айқ ын. Бірінші аксиома толық орындалады.

Айталық, кез-келген тұ рақ ты сан берілген болсын, ол ү шін норманың екінші аксиомасын тексерейік:

Екінші аксиома да орындалды.

Кез келген x(t), y(t) C[a, b] функцияларын алып, ү шінші аксиоманы

тексерейік.

Демек, функциясы C[a, b] сызық тық кең істігінде норма

болады.

3-мысал: X=C¹[a, b] - [a, b] кесіндісінде ө зі жә не бірінші ретті туындысы ү зіліссіз болатын функциялар жиынында

1).||x||³ 0 екені айқ ын.

Егер

болса, онда жә не

болуы керек. Егер қ андай да бір y(t) - оң жә не ү зіліссіз функциясын алып, оның a£ t£ b кесіндісіндегі максималды мә нін нө лге тең, яғ ни десек, онда барлық tÎ [a, b] ү шін y(t)º 0 болады. Бұ дан барлық tÎ [a, b] ү шін x(t)=0, x ¢ (t)=0 тең діктері орынды екені келіп шығ ады. Олай болса, ||x||=0 шарты орынды болады. x(t)=0Î C¹[a, b] жә не || 0||=0 екені айқ ын.

Ендеше, ||x||=0 Û x(t)=0.

2).Кез-келген aÎ R нақ ты саны жә не x(t) C¹[a, b] ү шін