Функцияны интерполяциялау мәселесі.

функциясы берiлген жә не оның мә ндерi кесте тү рiнде берiлген. – функциясы сияқ ты – кез келген функциясы да нү ктелерiнде дә л сондай мә ндердi қ абылдайды, ал берiлген аралық тағ ы ө зге нү ктелерде функциясының қ абылдайтын мә нiне, таң далынғ ан дә лдiкпен алғ андағ ы, маң айлас шамағ а тең.

функциясын берiлген тораптардан ө зге нү ктелерде функциясымен алмастырса, мұ ндай операцияны функциясын интерполяциялау деймiз. Мұ нда формуласы интерполяциялау формуласы деп аталады. Интерполяциялау формулалары функциясының аргументтiң берiлген мә ндерi қ арастырылғ ан аралық та белгiсiз мә ндерiн табу ү шiн қ олданылады.

Нә тижесiн шығ арар кезде мынадай қ ателiктер ескерiледi:

1. Ә дiс қ ателiгi

2. Жойып алмау қ ателiгi

3. Жуық тау қ ателiгi.

Ә дiстiң қ ателiгi қ алғ ан мү шенi

интерполяциялау формуласы арқ ылы табылуы мү мкiн жә не – тiң сә йкес дә режесiндегi туындысының интерполяциялау аралығ ындағ ы мә нiне байланысты бағ аланады.

9.2. Тең емес арақ ашық тық та орналасқ ан тү йiндерге арналғ ан Лагранждың интерполяциялық формуласы

(1)

Айталық, функциясы аралығ ында тек -ге дейiнгi барлық дә режеде туындысы табылады жә не қ ателiгi мына тү рде болады.

(2)

,

9.3. Тең емес арақ ашық тық та орналасқ ан тү йiндерге арналғ ан Ньютонның интерполяциялық формуласы

(3)

(3)-тiң оң жағ ындағ ы барлық мү шелерiнiң қ осындысы Ньютонның интерполяциялау кө пмү шелiгi деп, ал соң ғ ы мү шесi

(4)

қ ателiгi деп аталады.

9.4. Эйткеннің интерполяциялау сұ лбасы

Функциясын есептегенде -тiң нақ ты мә ндерiн тең емес арақ ашық тық та орналасқ ан аргументтерi ү шiн Лагранждың интерполяциялау полиномы арқ ылы Эйткеннiң сұ лбасын қ олдану тиiмдi.

(5)

…………………………………….

болсын жә не Эйткен сұ лбасы бойынша есептеу тө мендегi сұ лба тү рiнде жү ргiзiледi:

Есептеу соң ғ ы -тiң тiзбектiк мә нiн салыстырумен анық талады.

9.5. Ньютонның бірінші интерполяциялау формуласы

Тұ рақ ты қ адаммен берілген кесте, функцияғ а ақ ырлы тү рлі кестесі қ ұ рылғ ан. Интерполяциалау кө п мү шелігін осындай тү рде іздейміз:

(6)

Бұ л n дә режедегі кө пмү шелік.

коэфиценттерінің мағ ынасын, шық қ ан функцияның мағ ынасының сә йкестік шартын жә не кө пмү шелік тү йіндерін табамыз. -ге қ арап, (5.11)-ден -ді табамыз, одан . мә нді жә не -ні бере отырып тө мендегіні аламыз:

, одан

тағ ы сол сияқ ты , немесе

одан .

Жалпы жағ дайда ү шін мынадай тү р болады:

(7)

(6)-ші кө пмү шелік ү шін (7)-ні қ оямыз:

(8)

Бұ л формула басқ аша тү рде қ олданылады

болса, тағ ы сол сияқ ты

онда:

(9)

(9) – формула Ньютонның бірінші интерполяциондық формуласы деп аталады. Абсолюттік шамасы бойынша кіші болғ анда, бұ л формула интерполяцианың кесіндісінің басында интерполяциалау ү шін қ олданылады. Осы себепке байланысты Ньютонның бірінші интерполяциалау формуласын алғ а интерполяциалау деп атайды. Бастапқ ы мә нін аргументтегі кестелік мә нді қ абылдауғ а болады.

9.6. Ньютонның екінші интерполяциялау формуласы

Аргументтің мә ні интерполяциалау кесіндісінің соң ына жақ ын орналасқ ан кезде бірінші интерполяциалау формуласын қ олдану тиімсіз. Бұ л жағ дайда артқ а интерполяциалау, яғ ни, Ньютонның келесі тү рде ізделінетін екінші интерполяциалау формуласы қ олданылады:

(10)

Ньютонның бірінші формуласындағ ыдай коэффицентері тү йінде функция мә ндері жә не интерполяциалау кө пмү шесінің сә йкес келу шартынан табылады.

(11)

(11)-шы ө рнекті (10)-ші ө рнекке қ ойып жә не айнымалысына ө тіп, Ньютонның екінші формулаларының соң ғ ы тү рін аламыз:

(12)

9.7. Интерполяциалау кө пмү шелігінің қ ателігі

Егер интерполяциалау функциясы аналитикалық тү рде белгілі болса, онда интерполяциалау қ ателігін (ә діс қ ателігі) бағ алауғ а арналғ ан формуланы қ олдануғ а болады. интерполяциалау кө пмү шелігінің қ алдық мү шесі мынадай болады:

Бекітілген кесіндісі ү шін интерполяциалау кө пмү шелігінің бір ғ ана екендігінен, қ ателігі туралы сұ рақ ты баяндау Лагранж кө пмү шелігі мен Ньютон кө пмү шелігіне бірдей.

функциясының -ге дейінгі барлық туындыларды бар болсын деп ұ йғ арайық, R-тұ рақ ты кө бейткіш деп қ осымша функция енгіземіз:

(13)

Байқ ап отырғ анымыздай, функциясының () тү бірлері ( -интерполяциалау тораптары) бар. R-коэффициентін ә рбір нү ктесінде ()-ші тү бір болатындай етіп таң дап аламыз. Шынында , яғ ни

болуы ү шін

(14)

болуы жеткілікті. Сонымен, функциясының R мағ ынасы интерполяциалаудың кесіндісінде тү бірін иемденді жә не кесінділерінің ә рқ айсысының соң ында 0-ге айналды:

Кесінділердің ә рқ асыларына Рош теоремасын қ олдана отырып, мынағ ан кө з жеткіземіз:

кем дегенде тү біріне ие.

кем дегенде тү біріне ие.

кем дегенде бір тү бірді иемденеді.

-ні болатын нү ктенің ө зі деп белгілейік (13), -рет дифференциялаймыз.

бұ дан

кезінде

(15)

(14) пен (15)-ті салыстырсақ

Бірақ нү ктесі туынды (шынында -қ а бағ ынышты!). Сондық тан былай жазуғ а болады.

Егер -ті қ абылдасақ, онда

(16)

Бағ алау формуласын (5.21) Лагранж формуласы бойынша интерполяциялаудың ә діс қ ателігін есептеуге тікелей қ олданса болады. жә не алмастыруды қ олдана отырып (16) формуласынан Ньютон формулалары бойынша интерполяциалаудың қ ателіктерін бағ алау формуласын алуғ а болады.

(17)

(18)

Лагранж жә не Ньютонның интерполяцияланғ ан кө пмү шелерінің талдауы, сондайақ (16), (18) бағ алау формулаларының талдаулары. Пайдалы практикалық қ ортындыларын жасауғ а мү мкіндік береді.

Қ ателік мә н мағ ынасына шамасы шешімді ә сер етеді, ол тү йінді нү ктелерді интервалының ортасынан алынғ ан жағ дайда азайтылады. Сонымен қ атар, екі тү йінді мағ ыналардың ортасына жақ ын болғ анда тү йіндерінің жұ п сандарын алғ ан тиімді ( тү йіндерінен сол жақ тан жә не -тен оң жақ тан)

Егер тү йінді мағ ыналардың біріне жақ ын болса, тү йіндердің тақ санын пайдалануғ а болады.

Ньютонның интерполяцияланғ ан формулаларын тә жірибеде қ ұ растыру кезінде сә йкес соң ғ ы қ алдық тары нө лге тең немесе жақ ын мү шелерді елемеу керек. Сондық тан, тә жірибелік есептеулерде Ньютонның интерполяцияланғ ан формулалары берілген дә лдік шегінде тұ рақ ты деп саналатын қ алдық тарғ а ие мү шелерге бө лінеді.

Соң ғ ы қ алдық тармен Ньютон формулалары бойынша интерполяциалау дә лдігі арасындағ ы байланыс келесі тү сініктемелермен бекітіледі.

Назар аударамыз: аз мә нінде жә не ү здіксіз жағ дайда, шамамен есептеуге болады:

мұ нда

яғ ни, ретіндегі соң ғ ы қ алдық тар модульдерінен максималды. Сонымен (17) жә не (18).

Ньютонның бірінші жә не екінші интерполяциялау формулаларының қ алдық мү шелерін бағ алау жағ дайлары мынадай тү рге ие:

(19)

(20)

(19) жә не (20) формулалары туынды интерполяциялаушы функциясын зерттемей ақ интерполяциалау ә дісінің қ ателігін бағ алауғ а мү мкіншілік беретіндігімен ың ғ айлы (соның ішінде, аналитикалық формуласы тіптен белгісіз болғ анда).

Интерполяциалау соң ғ ы қ ателігіне есептеу қ ателігі де ә сер етеді. Бұ л мә селелерді толық зерттеу аз қ иындық тар тудырмайды мысалы сенімді жә не кө п мә нді есептеу кестелерін қ ұ растыру кезінде.

Разрядтардың ү лкен санымен жә не кестелердің автоматтандырылғ ан басылымдарымен есеп жү ргізуге мү мкіндік беретін ЭЕМ-гі қ олданумен техникалық жұ мыс бірталай жең ілдейді.

9.8. Функция кестесін тығ ыздау

Функцияның кестесін тығ ыздау ү шін интерполяциалау қ олданылады. Функцияның берілген кестесі бойынша аргументтің мә нін ү лкейту арқ ылы жаң а кестені қ ұ ру операциясы кейбір жағ дайда функцияны субтабуляциялау деп аталады. Егер кесте тұ рақ ты қ адаммен берілген болса, онда Ньютонның интерполяциалау кө пмү шелігін қ олданғ ан жө н. ЭЕМ-де есептеу ү шін тү йіндік нү ктелері белгілі болғ ан жағ дайда (егер ақ ырлы айырымдар жә не полином дә режесі қ олмен есептелінген болса) Ньютон формулаларын Горнер кестесі арқ ылы кө рсетуге ың ғ айлы болады. Ньютонның бірінші интерполяциалау формуласы келесі тү рде кө рсетіледі:

Егер Горнер кестесін қ олдансақ мә нін циклда есептеуімізге болады. Егер қ олданылатын ақ ырлы айырмдардың максималды реті ү лкен болмаса, онда мә нін Ньютон формулалары арқ ылы табуғ а болады.

МЫСАЛ 1.

Мына мә ндер кестесi ү шiн Лагранж кө пмү шелiгiн қ ұ рып -тi есептең iз:

Шешуi. тө мендегi жағ дайда n=3, онда сызық тық функциясы интерполяциялациялау кө пмү шелiгi болып табылады, онда

Жауабы:

.

МЫСАЛ 2.

функциясының мә ндер кестесi берiлген.

n=3 жоғ арғ ы Ньютонның бiрiншi формуласын қ олданып, lg1001 есептеп жә не R₃ -қ алдық мү шесiн бағ алап кө рсетiң iз.

Шешуi.

ү шiн,

x	y
	3.0000000	0.0043214	-0.0000426	0.0000008
	3.0043214	0.0042788	-0.0000418	0.0000009
	3.00806002	0.0042370	-0.0000409	0.0000008
	3.0128372	0.0041961	-0.0000401
	3.0170333	0.0041560
	3.0211893

-тi есептеймiз:

-тi есептеймiз:

-тi есептеймiз:

Осыдан,

қ алдық мү шенi бағ алаймыз

,

мұ ндағ ы Егер , онда , сондық тан

жә не болса

болады.

Жауабы:

Бақ ылау сұ рақ тары:

1. Кестемен берілген функцияны интерполяциалау ә дісімен жуық таудың ерекшелігі неде?

2. Интерполяциалау кө пмү шелігінің табылуы мен жалғ ыздығ ы қ алай негізделеді? Оның дә режесі интерполяциалау тү йіндерімен қ алай байланысады?

3. Лагранж жә не Ньютонның интерполяциалау кө пмү шеліктері қ алай қ ұ рылады? Бұ л интерполяциалаудың екі ә дісінің ерекшкліктері қ андай?

Дә ріс. Сандық интегралдау. Интегралдық тегістеу. Интерполяциялық квадратуралық формулалары. Ең жақ сы алгебралық дә лдікті квадратуралық формулалар.