Дирихле есебі үшін торлар әдісі.

Бiрiншi шектiк есеп немесе Пуассон тең деуi ү шiн

(2)

Дирихле есебi: Қ андай да бiр G облысының iшiнде (2) тең деудi қ анағ аттандыратын, ал Г шекарасында

(3)

шартын қ анағ аттандыратын формуласын табу керек, мұ ндағ ы – берiлген ү зiлiссiз функция.

жә не қ адамдарын сә йкес х жә не у деп таң дап, тор тұ рғ ызамыз жә не ә рбiр iшкi тү йiнiнде туындыларын (1) ақ ырлы айырымдар қ атынасымен алмастырып (2) тең деудi мына тү рде жазамыз:

(4)

мұ ндағ ы

функциясының мә ндерiне қ атысты сызық тық алгебралық тең деулер жү йесiн бередi.

Дербес жағ дай. Егер G облысы тiк тө ртбұ рыш жә не болса, онда (4) тең деулер былайша жазылады:

Егер болғ анда (2) Лаплас тең деуі деп аталады.

жә не сә йкес ақ ырлы-айырымдық тең деулер келесi тү рде жазылады:

жә не тең деулердi жазғ ан кезде келесi тү йiндер сұ лбасы қ олданылды:

2-сурет

Дифференциалдық тең деудi айырымдық тең деумен алмастыру қ ателiгi, яғ ни Лаплас тең деуi ү шiн қ алдық мү ше келесi тең сiздiкпен бағ аланады:

мұ ндағ ы

Айырымдық ә дiспен алынғ ан жуық таң шешiмнiң қ ателiгi келесi ү ш қ ателiктерден қ ұ ралады:

1. Дифференциалдық тең деудi айырымдық тең деумен ауыстырғ андағ ы қ ателiктен;

2. Шеттiк шарттарды жуық тау қ ателiгiнен;

3. Айырымдық тең деулер жү йесiн жуық тап шешу нә тижесiнде пайда болатын қ ателiктерден.

МЫСАЛ

Қ абырғ асы 1-ге тең, оқ шауланғ ан жазық шаршы пластинкадағ ы жылудың станционар ү лестірімі туралы есепті пластинканың шекарасында температура тұ рақ ты болғ ан жағ дайда қ арастырайық.

3-сурет

Температураның ү лестірімін беретін (, ) функциясы Лаплас тең деуінің шешімі болатыны белгілі:

Берілген есеп ү шін шекаралық шарттар 3-суретте кө рсетілген.

Шешуі:

қ адаммен тор қ ұ рамыз, тоғ ыз ішкі тораптар аламыз. Осы тораптарда ақ ырлы-айырымдық тең деулер қ ұ рамыз.

Шекаралық шарттардың симметриялылығ ын

₁₁= ₃₁, ₁₂= ₃₂, ₁₃= ₃₃ (1)

Бұ л функциясының ішкі тораптардағ ы белгісіз мә ндерінің санын тоғ ыздан алтығ а дейін азайтады.

Осылайша (3, 1), (3, 2), (3, 3) тораптарда ақ ырлы-айырымдық тең деулерді жазудың қ ажеті жоқ. Қ алғ ан ішкі (1, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 2), (1, 3), (2, 3) тораптарда сә йкес алты тең деуді аламыз:

Бұ л тең деулер қ ұ рамына тағ ы функцияның шекаралық нү ктедегі 12 мә ні кіреді. Ол мә ндерді біз шекаралық шарттардан аламыз:

(3)

Қ алғ ан тораптарғ а шекаралық шарттар қ олданылмайды.

(2), (3) шарттарды ескере отырып, нақ ты тү рде келесі жү йені аламыз:

Бұ л жү йені Гаусс ә дісімен шешіп, алатынымыз: