Непрерывные случайные величины. Рассмотрим случай, когда множество возможных значений случайной величины несчетно.

Рассмотрим случай, когда множество возможных значений случайной величины несчетно.

Определение. Случайная величина X с непрерывной функцией распределения называется непрерывной случайной величиной.

Определение. Плотностью распределения (плотностью вероятности) случайной величины X называется неотрицательная кусочно-непрерывная функция , для которой при любом выполняется соотношение

.

Определение. Случайная величина, у которой существует плотность вероятности, называется абсолютно непрерывной, или случайной величиной непрерывного типа (сокращенно СВНТ).

Замечание. Кроме абсолютно непрерывных случайных величин существуют непрерывные случайные величины, называемые сингулярными, которые не имеют плотности вероятности. В дальнейшем такие случайные величины не рассматриваются.

Покажем, что для СВНТ X для произвольного фиксированного . Действительно, из равенства

,

равносильного

,

следует, что вероятность «попасть в точку» для СВНТ X равна нулю.

Из определения следуют свойства плотности распределения :

1. для всех (условие неотрицательности плотности).

2. (условие нормировки плотности).

3. .

Замечание. Таким образом, через плотность вероятности можно вычислить вероятность для любого .

4. в точках непрерывности плотности .

Пример 2.1.10. Даны функции:

, , .

Являются ли эти функции плотностями вероятности?

Решение. Для функции не выполнено условие неотрицательности, т.к. для всех . Для функции не выполнено условие нормировки, т.к. интеграл расходится. Наконец, для функции выполнены условия неотрицательности и нормировки, поскольку, очевидно, для всех действительных x и

.

Ответ: плотностью распределения является только .

Пример 2.1.11. СВНТ X задана функцией распределения

Найти: 1) коэффициент a; 2) и построить ее график; 3) .

Решение. 1) Так как непрерывна, то , т.е. . Отсюда .

2) Плотность распределения . Поэтому функция плотности :

График плотности приведен на рис. 2.1.4.

3) .

Ответ: , , .

Пример 2.1.12. СВНТ X задана функцией плотности

Найти: 1) коэффициент a; 2) и построить ее график; 3) .

Решение. 1) . Отсюда .

2) По определению .

Пусть , тогда .

Пусть , тогда

.

Пусть , тогда .

Таким образом, функция распределения :

График функции распределения приведен на рис. 2.1.5.

3) .

Ответ: .