Статистическое истолкование математического ожидания

Пусть в некоторой лотерее имеется один выигрыш, размер которого случаен и равен или , или , …, или . Если лотерея проводится N раз, причем раз выпадает выигрыш , , то есть относительная частота выигрыша , а – средний выигрыш на одну лотерею. Если Х – случайная величина, равная размеру выигрыша в одной лотерее, то из устойчивости относительных частот следует, что . Поэтому средний выигрыш колеблется около математического ожидания:

.

Обозначим .

Определение. Центральным моментом s-го порядка случайной величины X называется действительное число , определяемое по формуле:

, если X – СВДТ;

, если X – СВНТ.

Замечание. Центральный момент существует, если ряд (соответственно интеграл) в правой части каждой из этих формул сходится абсолютно.

Замечание. Иногда используются абсолютные центральные моменты s-го порядка случайной величины X:

, если X – СВДТ;

, если X – СВНТ;

Определение. Центральный момент второго порядка называется дисперсией случайной величины Х.

Дисперсия случайной величины X обозначается и выражается через ее закон распределения с помощью формулы:

, если X – СВДТ;

, если X – СВНТ.

Определение. Действительное число называется средним квадратическим отклонением случайной величины Х (или иногда стандартным отклонением).

Определение. Случайная величина X называется стандартизованной, если и .

Пример 2.1.16. Закон распределения случайной величины X имеет вид:

Вычислить и .

Решение. Найдем вначале математическое ожидание случайной величины X:

.

Вычислим дисперсию :

.

Тогда среднее квадратическое отклонение: .

Ответ: , .

Замечание. Можно доказать (Проделайте это самостоятельно!), что для дисперсии верно соотношение:

.

С помощью этой формулы вычисление дисперсии обычно (Но не всегда!) упрощается. Так в предыдущем примере при вычислении дисперсии можно было действовать так:

.

Дисперсия случайной величины Х является характеристикой рассеивания. Она характеризует разбросанность случайной величины Х около ее математического ожидания. Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому очень часто используется среднее квадратическое отклонение, которое имеет размерность самой случайной величины.